インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 V 章を完了する.

正方形を作る

一辺が1の正方形を描き、対角線を描きます。 2 つの直角を半分に分割します。$45°$、$45°$、および $90°$ の角度を持つ 2 つの三角形が表示されます。ピタゴラスの定理によれば、対角線は $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ になります。

直角三角形の鋭角の場合、正弦は斜辺で割った反対側の辺になります。コサインは、斜辺で割られた隣接する辺です。これらの比率はサイクル座標と一致します。角度を変更せずに、斜辺をメジャー 1 まで縮小するだけです。

デモ: 45 度の値

四角三角形では、脚の長さは 1、斜辺の長さは $\sqrt2$ になります。ロゴ：

$$\operatorname{sen}45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

分子と分母に $\sqrt2$ を掛けて、最後の形式を取得します。接線は$1/1=1$です。

デモンストレーション: 30 度および 60 度の値

2の隣に正三角形を作成します。 3 つの角度は等しく、合計すると $180°$ になるため、測定値は $60°$ になります。頂点からの高さをプロットします。対称性により、底面は 1 の 2 つの部分に分割され、上部の角は $30°$ の 2 つの部分に分割されます。

できた直角三角形は斜辺が2、小さい辺が1、高さが$h$となります。ピタゴラスは次のことを提供します。

$$h^2+1^2=2^2\quad\Rightarrow\quad h=\sqrt3.$$

角度が$30°$の場合、反対側は1になります。 $60°$の場合は$\sqrt3$を測定します。テーブルを取得します。

角度 正弦 余弦 正接
$30°=\pi/6$ $1/2$ $\sqrt3/2$ $\sqrt3/3$
$45°=\pi/4$ $\sqrt2/2$ $\sqrt2/2$ 1
$60°=\pi/3$ $\sqrt3/2$ $1/2$ $\sqrt3$

表は 2 つの図面の結果です。入力を忘れた場合は、三角形をやり直してください。

正多角形にも正弦がある

正多角形はすべての辺とすべての角が等しいです。そのうちの 1 つを、$n\ge3$ 辺で半径 $R$ の円に内接します。隣接する 2 つの頂点を中心に接続します。形成される二等辺三角形は、中心角が$360°/n$、基線長が$\ell$となります。

中心から始まる高さは、底辺と中心角を半分にカットします。半分では、斜辺は $R$ の価値があり、角度の反対側 $180°/n$ は $\ell/2$ の価値があります。したがって：

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}=\frac{\ell}{2R}, \qquad \ell=2R\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}.$$

六角形の場合、$n=6$:$\ell=2R\operatorname{sen}30°=R$。正方形の場合は$\ell=2R\operatorname{sen}45°=R\sqrt2$。この関係は、ポリゴン測定が三角関数値の計算にどのように役立つかを説明します。

スケールを確認する

正三角形 の辺が 2 ではなく 10 である場合、すべての測定値に 5 が乗算されます。理由は変わりません。サインは長さではなく、単一性のない比率です。

日常生活での応用

  • ホブとタイル。 六角形と 正三角形 は、その角度 ($120^\circ$ と $60^\circ$) が $360^\circ$ を正確に分割するため、穴を残さずに床を覆います。
  • 折り紙。 最も一般的な折り方は、$45^\circ$ (正方形を斜めに折る) と $30^\circ$ と $60^\circ$ (1 枚のシートを 3 つに分割する) です。
  • 正方形。 スクール キットの正方形のペアは、$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、および $90^\circ$ の角を保持します。
ケースとツールボックスの注目すべき角度は、2 つのスクールスクエアと正六角形の六角ナットです。

練習問題

ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。

1. 一辺が6 cmの正方形の対角線は何センチですか?

解像度 1 を参照

$d^2=6^2+6^2=72$、次に $d=6\sqrt2$ cm。

2. 1 つの 正三角形 x 8 cm の高さはどれくらいですか?

解像度 2 を参照

基本半分は 4、斜辺は 8 です。 $h=\sqrt{64-16}=4\sqrt3$cm。

3. $2\operatorname{sen}30°+\cos60°$を計算します。

解像度 3 を参照

$2\cdot1/2+1/2=3/2$.

4. 半径5cmの円に正六角形が内接します。その周長はどれくらいですか?

解像度 4 を参照

各辺のサイズは 5 cmです。周長は$6\cdot5=30$cmです。

5. 半径3cmの円に正方形が内接します。あなたの側の長さはどれくらいですか？

解像度 5 を参照

$\ell=2\cdot3\operatorname{sen}45°=3\sqrt2$cm。

6. 半径1の円には、内接する正三角形の辺は$\sqrt3$となります。これを使って$\operatorname{sen}60°$を探します。

解像度 6 を参照

$n=3$、$\operatorname{sen}(\pi/3)=\ell/(2R)=\sqrt3/2$の場合。

書籍索引 · ← 前の章 · 次の章→