Euler's Eyes
2026-10-19
值得注意的角度：折叠三角形和多边形
在互动书中： 完成第五章，包含所有演示和练习.
做一个正方形
画一个边长为 1 的正方形并画一条对角线。它将两个直角分成两半：出现两个角度分别为 $45°$、$45°$ 和 $90°$ 的三角形。根据毕达哥拉斯定理，对角线的尺寸为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$。
对于直角三角形中的锐角，正弦是对边除以斜边；余弦是邻边除以斜边。这些比率与循环坐标一致：只需将斜边减小到尺寸 1，而不改变角度。
演示：45度的值
在直角三角形中，边的尺寸为 1，斜边的尺寸为 $\sqrt2$。标识：
$$\operatorname{sen}45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$我们将分子和分母乘以 $\sqrt2$ 以获得最后的形式。正切为 $1/1=1$。
演示：30和60度的值
现在将 等边三角形 放在 2 旁边。它的三个角度相等，加起来为 $180°$，因此它们的尺寸为 $60°$。绘制距顶点的高度。通过对称性，它将底座分为测量 1 的两部分，将上角分为测量 $30°$ 的两部分。
在形成的直角三角形中，斜边为2，较小的边为1，高为$h$。毕达哥拉斯提出：
$$h^2+1^2=2^2\quad\Rightarrow\quad h=\sqrt3.$$对于$30°$角度，其对边测量为1；对于 $60°$，测量 $\sqrt3$。我们得到表：
| 角度 | 正弦 | 余弦 | 切线 |
|---|---|---|---|
| $30°=\pi/6$ | $1/2$ | $\sqrt3/2$ | $\sqrt3/3$ |
| $45°=\pi/4$ | $\sqrt2/2$ | $\sqrt2/2$ | 1 |
| $60°=\pi/3$ | $\sqrt3/2$ | $1/2$ | $\sqrt3$ |
该表是两张图的结果。如果您忘记了某个条目，请重做三角形。
正多边形也有正弦
正多边形的所有边和所有角都相等。将其中一个边长为 $n\ge3$ 的边刻入半径为 $R$ 的圆中。将两个相邻顶点连接到中心。所形成的等腰三角形具有$360°/n$的圆心角和$\ell$的底边长度。
从中心开始的高度将底边和圆心角切成两半。在二分之一中，斜边的值为 $R$，与角度 $180°/n$ 相对的一侧的值为 $\ell/2$。所以：
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}=\frac{\ell}{2R}, \qquad \ell=2R\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}.$$对于六边形，$n=6$: $\ell=2R\operatorname{sen}30°=R$。对于正方形，$\ell=2R\operatorname{sen}45°=R\sqrt2$。这种关系解释了多边形测量如何帮助计算三角值。
检查秤
如果等边三角形有边10而不是2，则所有测量值将乘以5。原因将保持不变。正弦不是长度：它是一个没有单位的比率。
在日常生活中
- 滚刀和瓷砖。 六边形和 等边三角形 覆盖地板而不留孔，因为它们的角度（$120^\circ$ 和 $60^\circ$）精确地除以 $360^\circ$。
- **折纸。**最常见的折叠是$45^\circ$（对角折叠正方形）以及$30^\circ$和$60^\circ$（将一张纸分成三份）。
- 正方形。 学校套件中的一对正方形具有 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 和 $90^\circ$ 的角度。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
**1.**边长为 6 厘米的正方形的对角线是多少？
参见分辨率 1
$d^2=6^2+6^2=72$，然后 $d=6\sqrt2$ 厘米。
2。 1 等边三角形 x 8 厘米有多高？
参见分辨率 2
底半部为 4，斜边为 8。 $h=\sqrt{64-16}=4\sqrt3$ 厘米。
**3。**计算$2\operatorname{sen}30°+\cos60°$。
参见分辨率 3
$2\cdot1/2+1/2=3/2$.
4。 一个正六边形内接于半径为 5 厘米的圆。它的周长是多少？
参见分辨率 4
每边尺寸为 5 厘米。周长为 $6\cdot5=30$ 厘米。
5。 一个正方形内接于半径为 3 厘米的圆。你的身边有多长？
参见分辨率 5
$\ell=2\cdot3\operatorname{sen}45°=3\sqrt2$ 厘米。
6。 在半径为 1 的圆中，内切 等边三角形 的边为 $\sqrt3$。用它来查找$\operatorname{sen}60°$。
参见分辨率 6
对于 $n=3$、$\operatorname{sen}(\pi/3)=\ell/(2R)=\sqrt3/2$。