16 世紀以来、イタリアの代数学者たちは、ある種の三次方程式を解くとき、最後の答えが実数であっても負の数の平方根を通らなければならないことを知っていた。彼らは $\sqrt{-1}$ を居心地悪く使った。デカルトはそれを虚数と呼び、その名が残った。ライプニッツはそれを「存在と非存在のあいだの両生類」と描写した。

問題は記号論的なものだった。$\sqrt{-1}$ は代数の規則に従う書き方なのに、見たり測ったりできる何ものも指していなかった。実数には数直線の上に場所がある。$\sqrt{-1}$ にはどこにも居場所がなかった。

虚数に居場所を与える

『幾何学的作図において虚量を表す一つの方法についての試論』（パリ、1806）の扉。著者名なしで出版された。この一冊には、1874 年にこの論文を再刊したジュール・ウエルの手書きの献辞がある。
『幾何学的作図において虚量を表す一つの方法についての試論』（パリ、1806）の扉。著者名なしで出版された。この一冊には、1874 年にこの論文を再刊したジュール・ウエルの手書きの献辞がある。Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · パブリックドメイン

答えは二人のアマチュアからやってきた。1797 年、ノルウェーの測量士カスパー・ヴェッセルはデンマーク科学アカデミーに論文を提出したが、一世紀のあいだ誰にも読まれなかった。1806 年、パリに住んでいたスイス人の簿記係ジャン＝ロベール・アルガンが、同じ考えを示す小さな論文を自費で、名前を出さずに出版した。虚数を実数の軸に垂直な直線の上に置くという考えである。

数 $a+bi$ は点 $(a,b)$ になる。横に $a$、縦に $b$ である。数 $1$ は原点の右、$-1$ は左、$i$ は上、$-i$ は下にある。対象をもたなかった書き方が場所を得た。場所を得て、意味を得たのである。

i をかけることは回すこと

$i$ をかけると何が起きるかを見よう。

$$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$

平面では、この四つの点は右、上、左、下である。$i$ を一回かけるたびに、反時計回りに四分の一回転、つまり $90°$ 回る。これはどんな数についても成り立つ。$i(a+bi)=-b+ai$ は、点 $(a,b)$ を原点のまわりに $90°$ 回したものである。

すると、ばかげて見えた等式

$$i^2=-1$$

は当たり前のことを言っているにすぎない。四分の一回転を二回すると半回転であり、半回転は $1$ を $-1$ に運ぶ。記号は変わっていないのに、もう謎ではない。これはまさに第2章でデュヴァルとともに見た現象である。別の表現レジスター――幾何のレジスター――への変換が、代数のレジスターが隠していたものを明らかにするのだ。

かけ算は回転と拡大

図は一般のかけ算も説明する。どの複素数にも、原点からの距離である絶対値と、実軸とのなす角である偏角がある。規則はこうだ。

二つの複素数をかけると、絶対値はかけ合わされ、角は足し合わされる。

一回のかけ算が、一回の回転と一回の拡大になる。1831 年、ガウスはこの考えに欠けていた権威を与え、複素数という言葉を使い、数を平面に描きはじめた。それ以来、$\sqrt{-1}$ という書き方は恐れられなくなり、複素数は電気、波動、量子力学の言語になった。

練習：計算せずに (1 + i)²

図を使って $(1+i)^2$ を求め、代数で確かめよ。

$1+i$ の絶対値は $\sqrt2$、角は $45°$ である。2 乗すると、絶対値は $(\sqrt2)^2=2$、角は $90°$ になる。原点の上 $2$ 単位の点、つまり $2i$ である。代数で確かめると $(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$。

練習：(1 + i)⁸

$(1+i)^8$ を求めよ。

角は $8\cdot45°=360°$、ちょうど一回転になり、絶対値は $(\sqrt2)^8=2^4=16$ になる。したがって $(1+i)^8=16$、正の実数である。代数では八次の二項式を展開しなければならないが、図なら回転の数を数えるだけでよい。

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