Euler's Eyes
2026-10-24
直角三角形を解く
直角三角形を解くとは、その主な要素である鋭角 ($\hat{B}$ および $\hat{C}$) と辺 ($a$、$b$、$c$) を計算することを意味します。これを行うには、 三角形に関する2 つの情報を提供する必要があります。そのうちの少なくとも 1 つは、三角形に接続されている線分の寸法 (辺、高さ、中央値、角の二等分線 など) です。角度だけがわかっているため、形状はわかりますが、サイズはわかりません。
歴史
直角三角形を解くことは、何世紀にもわたって、測量士、航海士、砲兵の日常的な仕事でした。地上の角度を測定するために、 イギリス人のレナード・ ディグスはセオドライトと名付けた器具について説明しました。これはセオドライトの祖先であり、今でも三脚に乗せられて街路に現れています。この記述は、レナードが未完にし、 息子のトーマス・ ディッグスが完成させて1571に出版した本パントメトリア (「普遍的な測定」) に登場しました。測定された角度と既知の距離があれば、残りの作業は三角関数テーブルが行います。
出典: Thomas Digges (MacTutor) · L. Digges と T. Digges、パントメトリー (1571)。
日常生活での応用
- 消防士のはしご。 $70^\circ$ で傾斜した 20 m のはしごは、高さが $20\operatorname{sen} 70^\circ \approx 18{,}8$ m (トラックの高さに加えて) に達します。
- アクセス ランプ。 8,33% の勾配で 80 cm を克服するには、ランプの水平投影は $0{,}80 \div 0{,}0833 \approx 9{,}6$ m 必要です。
- 凧とドローン。 地面から $35^\circ$ にラインが 100 m ある場合、凧の高さは約 $100\operatorname{sen} 35^\circ \approx 57$ m になります (実際のラインは曲がっているため、これはオーバーヘッドの推定値です)。
理論
直角三角形を解くための古典的な問題は 5 つあります。全部で$\hat{A} = 90^\circ$。
例1 番目の問題 — 斜辺 a と鋭角 B が与えられた場合
$$\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \qquad b = a\operatorname{sen}\hat{B} \qquad c = a\cos\hat{B}$$例2 番目の問題 — 斜辺 a と辺 b が与えられた場合
$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a} \Rightarrow \hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\frac{b}{a}$$$$\cos\hat{C} = \frac{b}{a} \Rightarrow \hat{C} = \operatorname{arc\,cos}\frac{b}{a}$$例3 番目の問題 — 1 つの辺 b と隣接する角 C が与えられた場合
$$\hat{B} = 90^\circ - \hat{C} \qquad c = b \cdot \operatorname{tg}\hat{C} \qquad a = \frac{b}{\cos\hat{C}}$$例4 番目の問題 — 片側 b と反対側の角 B が与えられた場合
$$\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \qquad c = \frac{b}{\operatorname{tg}\hat{B}} \qquad a = \frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}}$$例5 番目の問題 — 2 本の脚 b と c が与えられた場合
$$a = \sqrt{b^2 + c^2}$$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{b}{c} \Rightarrow \hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\frac{b}{c}$$$$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b} \Rightarrow \hat{C} = \operatorname{arc\,tg}\frac{c}{b}$$注意辺ではないサイコロ
データが他のセグメント (高さ、角の二等分線、周囲長、内接円の半径) である場合は、まずそれらを辺に接続する方程式を設定し (最初のセクションの計量関係が非常に役立ちます)、その後で 5 つの問題のいずれかに頼ります。これは、演習 352 から 359 で行われることです。
例完全な例
$a = 10$ と $\hat{B} = 30^\circ$ の直角三角形を解きます (1 番目の問題): $\hat{C} = 60^\circ$、$b = 10\operatorname{sen} 30^\circ = 5$、$c = 10\cos 30^\circ = 5\sqrt{3}$。ピタゴラスで確認中: $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$。
アプリケーション: 最短のランプ
壁に立てかけられているのは、幅$a$、高さ$b$のブロックです。真っ直ぐなスロープは床から出て、ブロックの上隅を正確に通過し、壁で終わる必要があります。ランプが短いほど、使用する被覆材（大理石、花崗岩）の量が少なくなります。どの傾き $\alpha$ が最も短いランプを与えますか?
コーナーはランプを 2 つの部分に分割し、それぞれが直角三角形の斜辺になります。一番上のものには、$\alpha$ に隣接する水平脚 $a$ があります。一番下の脚には、$\alpha$ の反対側に垂直な脚 $b$ があります。それから
$$L(\alpha) = \frac{a}{\cos\alpha} + \frac{b}{\operatorname{sen}\alpha}.$$立ったり横になったりするときに傾斜しすぎると長くなります。一番良いのは真ん中です。 $L'(\alpha)$ をゼロに等しい導関数を使用すると、$\dfrac{a\operatorname{sen}\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{b\cos\alpha}{\operatorname{sen}^2\alpha}$ に到達します。つまり、
$$\operatorname{tg}^3\alpha^\star = \frac{b}{a} \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}.$$例幅 8 m、高さ 1 m のブロック
$a = 8$と$b = 1$の場合：$\operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$。次に$\cos\alpha^\star = \frac{2}{\sqrt{5}}$、$\operatorname{sen}\alpha^\star = \frac{1}{\sqrt{5}}$、
$$L_{\min} = \frac{8\sqrt{5}}{2} + \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{1} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18 \text{ m}.$$同じ計算により、古典的な質問の答えが得られます。地面に置いた状態で、高さ $b$ の壁を越え、壁の後ろの距離 $a$ にある壁に到達する最も短いはしごは何ですか?
このセクションの演習は、章リスト.