Euler's Eyes
2026-10-24
第八章练习——不等式
在每个不等式中，画出循环：标记辅助线，突出显示相应的弧，然后才写出间隔，从$A$开始。不满足严格不等式的点开放。
正弦不等式
求解不等式 $0 \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$x$的图像必须位于圆弧与直线$r$（$v = 0$）和$s$（$v = \frac{\sqrt{3}}{2}$）之间的平面范围的交点处，包括$r$并排除$s$：
求解不等式 $\operatorname{sen} x \ge 0$。
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$S = \{x \in \mathbb{R} \mid 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi\}$
求解不等式 $\operatorname{sen} x \le -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi\right\}$
求解不等式 $-\dfrac{1}{2} \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
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$2k\pi \le x < \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi < x \le \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \le x < 2\pi + 2k\pi$
求解不等式 $|\operatorname{sen} x| \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$|\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \iff \operatorname{sen} x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\operatorname{sen} x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$。 $x$ 的图像必须位于循环与 $r$（$v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$）下方的半平面或与 $s$（$v = \frac{\sqrt{3}}{2}$）上方的半平面的交点处：
$\frac{\pi}{3} + k\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} + k\pi$ 中对此进行了总结。
求解不等式 $|\operatorname{sen} x| \le \dfrac{1}{2}$。
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$2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \le x < 2\pi + 2k\pi$
求解不等式 $|\operatorname{sen} x| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi$
求解不等式 $2\operatorname{sen}^2 x < \operatorname{sen} x$。
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$2\operatorname{sen}^2 x < \operatorname{sen} x \iff 2\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x < 0 \iff \operatorname{sen} x\,(2\operatorname{sen} x - 1) < 0 \iff 0 < \operatorname{sen} x < \frac{1}{2}$.
检查三角循环：
$$2k\pi < x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi.$$求解不等式 $4\operatorname{sen}^2 x \ge 1$。
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$\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi$
确定 $x \in [0, 2\pi]$ 使得 $\operatorname{sen} 2x > 0$。
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制作 $2x = y$，我们有不等式 $\operatorname{sen} y > 0$。检查循环，$2k\pi < y < \pi + 2k\pi$。作为$x = \frac{y}{2}$，结果
$$k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi.$$但是$x \in [0, 2\pi]$；那么只有 $k = 0$ 或 $k = 1$ 的解决方案才有意义：
- $k = 0$: $0 < x < \frac{\pi}{2}$;
- $k = 1$: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\operatorname{sen} 2x > \dfrac{1}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{12} < x < \dfrac{5\pi}{12}$ 或 $\dfrac{13\pi}{12} < x < \dfrac{17\pi}{12}$
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\operatorname{sen} 3x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$0 \le x \le \dfrac{\pi}{9}$ 或 $\dfrac{2\pi}{9} \le x \le \dfrac{7\pi}{9}$ 或 $\dfrac{8\pi}{9} \le x \le \dfrac{13\pi}{9}$ 或 $\dfrac{14\pi}{9} \le x \le 2\pi$
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\dfrac{1}{4} \le \operatorname{sen} x \cdot \cos x < \dfrac{1}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{12} \le x \le \dfrac{5\pi}{12}$ 和 $x \ne \dfrac{\pi}{4}$，或 $\dfrac{13\pi}{12} \le x \le \dfrac{17\pi}{12}$ 和 $x \ne \dfrac{5\pi}{4}$
假设 $x \in [0, \pi]$，求解不等式 $3^{2\operatorname{sen} x - 1} \ge 1$。
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$\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}$
(MAPOFEI-72) a) 对于$x$的什么值，$\log_2(2\operatorname{sen} x - 1)$存在？ b) 求解方程$\log_2(2\operatorname{sen} x - 1) = \log_4(3\operatorname{sen}^2 x - 4\operatorname{sen} x + 2)$。
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a) $\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · b) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$
余弦不等式
求解不等式 $-\dfrac{3}{2} \le \cos x \le 0$，得到 $x \in [0, 2\pi]$。
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$x$ 的图像必须位于圆弧与直线 $s$ ($u = -\frac{3}{2}$) 和 $r$ ($u = 0$) 之间的平面范围的交点处。由于$s$行甚至不接触循环，因此条件$\cos x \ge -\frac{3}{2}$始终有效，$\cos x \le 0$保持不变：
$$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}.$$求解不等式 $\cos x \ge -\dfrac{1}{2}$。
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$2k\pi \le x \le \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$
求解不等式 $\cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{7\pi}{4} + 2k\pi$
求解不等式 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \le \cos x \le \dfrac{1}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi$
求解不等式 $|\cos x| < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi$
求解不等式 $|\cos x| > \dfrac{5}{3}$。
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$S = \varnothing$（余弦绝对值永远不会超过1）
求解不等式 $\cos 2x + \cos x \le -1$。
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检查三角循环：
$$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi.$$求解不等式 $4\cos^2 x < 3$。
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$\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi$
求解不等式 $\cos 2x \ge \cos x$。
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$\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x = 2k\pi$
求解不等式 $\operatorname{sen} x + \cos x \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
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将总和转化为乘积：
$$\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{1}{2}.$$做$x - \frac{\pi}{4} = y$，我们有$\cos y \ge \frac{1}{2}$；检查循环，$2k\pi \le y \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi \le y < 2\pi + 2k\pi$。像$x = y + \frac{\pi}{4}$：
$$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le x \le \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{23\pi}{12} + 2k\pi \le x < \frac{9\pi}{4} + 2k\pi,$$也就是说，以更紧凑的形式，$-\frac{\pi}{12} + 2k\pi \le x \le \frac{7\pi}{12} + 2k\pi$。
求解不等式 $\operatorname{sen} x + \cos x < 1$。
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$\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$
确定 $x \in [0, 2\pi]$ 使得 $\cos 3x \le \dfrac{1}{2}$。
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做$3x = y$，我们有$\cos y \le \frac{1}{2}$；检查循环，$\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le y \le \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$。像$x = \frac{y}{3}$：
$$\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \le x \le \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}.$$对于 $x \in [0, 2\pi]$，仅对 $k = 0$、$1$ 或 $2$ 感兴趣：
- $k = 0$: $\frac{\pi}{9} \le x \le \frac{5\pi}{9}$;
- $k = 1$: $\frac{7\pi}{9} \le x \le \frac{11\pi}{9}$;
- $k = 2$: $\frac{13\pi}{9} \le x \le \frac{17\pi}{9}$.
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\cos 2x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$\dfrac{\pi}{12} \le x \le \dfrac{11\pi}{12}$ 或 $\dfrac{13\pi}{12} \le x \le \dfrac{23\pi}{12}$
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\cos 4x > -\dfrac{1}{2}$。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{6}$ 或 $\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{2\pi}{3}$ 或 $\dfrac{5\pi}{6} < x < \dfrac{7\pi}{6}$ 或 $\dfrac{4\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$ 或 $\dfrac{11\pi}{6} < x \le 2\pi$
确定 $x \in [0, 2\pi]$ 使得 $\dfrac{\cos x}{\cos 2x} \le 1$。
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I) 执行 $\cos x = y$ 并记住 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$：
$$\frac{y}{2y^2 - 1} \le 1 \iff \frac{y}{2y^2 - 1} - 1 \le 0 \iff \frac{y - 2y^2 + 1}{2y^2 - 1} \le 0 \iff \frac{2y^2 - y - 1}{2y^2 - 1} \ge 0.$$II) 分子$2y^2 - y - 1 = (2y + 1)(y - 1)$在$-\frac{1}{2}$和$1$中抵消；分母，在 $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ 中。标牌：
| $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} < y < -\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2} < y < \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} < y < 1$ | $y > 1$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $2y^2 - y - 1$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $2y^2 - 1$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| 商 | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |
商为$\ge 0$至$y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-\frac{1}{2} \le y < \frac{\sqrt{2}}{2}$或$y \ge 1$。
III) 检查 $0 \le x \le 2\pi$ 的循环：
- $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \iff \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$;
- $-\frac{1}{2} \le \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \frac{\pi}{4} < x \le \frac{2\pi}{3}$或$\frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{4}$；
- $\cos x \ge 1 \iff x = 0$ 或 $x = 2\pi$。
因此$S = \left\{x \;\middle|\; x = 0 \text{ ou } \frac{\pi}{4} < x \le \frac{2\pi}{3} \text{ ou } \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \text{ ou } \frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{4} \text{ ou } x = 2\pi\right\}$。
假设 $x \in [0, \pi]$，求解不等式 $\dfrac{2\cos^2 x + \cos x - 1}{\cos x - 1} > 0$。
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$\dfrac{\pi}{3} < x < \pi$
假设 $x \in [0, \pi]$，求解不等式 $\dfrac{\cos 2x + \operatorname{sen} x + 1}{\cos 2x} \ge 2$。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}$ 或 $\dfrac{3\pi}{4} < x \le \pi$
假设 $x \in [0, \pi]$，求解不等式 $2^{\cos 2x} \le \sqrt{2}$。
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$\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}$
确定由 $f(x) = \sqrt{\dfrac{\cos 2x}{\cos x}}$ 给出的实函数 $f$ 的域。
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I) 我们必须有 $\dfrac{\cos 2x}{\cos x} \ge 0$。
II) 执行 $\cos x = y$：$\dfrac{\cos 2x}{\cos x} \ge 0 \iff \dfrac{2y^2 - 1}{y} \ge 0$。
III) 信号表：
| $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} < y < 0$ | $0 < y < \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $y > \frac{\sqrt{2}}{2}$ | |
|---|---|---|---|---|
| $2y^2 - 1$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| 商 | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |
商是$\ge 0$到$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le y < 0$或$y \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$。
IV) 检查循环：
- $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x < 0 \iff \frac{\pi}{2} + 2k\pi < x \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$或$\frac{5\pi}{4} + 2k\pi \le x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$；
- $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $\frac{7\pi}{4} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$。
精通是这些范围的满足。
(MACK-70) 确定实数集合中$y = \sqrt{\dfrac{4\operatorname{sen}^2 x - 1}{\cos x}}$、$0 \le x \le 2\pi$的定义域。
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$\dfrac{\pi}{6} \le x < \dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{5\pi}{6} \le x \le \dfrac{7\pi}{6}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2} < x \le \dfrac{11\pi}{6}$
函数$f(x) = \sqrt{\dfrac{\operatorname{sen} 2x - 2}{\cos 2x + 3\cos x - 1}}$定义为$x$、$x \in [0, 2\pi]$的什么值？
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$\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$
(MACK-71) 给出等式$(2\cos^2\alpha)x^2 - (4\cos\alpha)x + (4\cos^2\alpha - 1) = 0$，为$0 \le \alpha \le \pi$。 a) 对于$\alpha$的什么值，方程有实数解？ b) 对于什么值的$\alpha$方程允许负实根？
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a) 如果 $\cos\alpha = 0$ 方程变为 $-1 = 0$：无解。如果 $\cos\alpha \ne 0$，则判别式为
$$\Delta = 16\cos^2\alpha - 8\cos^2\alpha(4\cos^2\alpha - 1) = 8\cos^2\alpha\,(3 - 4\cos^2\alpha) \ge 0 \iff \cos^2\alpha \le \frac{3}{4}.$$然后$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\alpha \le \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos\alpha \ne 0$：$\frac{\pi}{6} \le \alpha \le \frac{5\pi}{6}$、$\alpha \ne \frac{\pi}{2}$。
b) 如果两个根都为负：和 $\frac{2}{\cos\alpha} < 0$ 乘积 $\frac{4\cos^2\alpha - 1}{2\cos^2\alpha} > 0$，即 $\cos\alpha < -\frac{1}{2}$。条件(a)为：$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\alpha < -\frac{1}{2}$，即$\frac{2\pi}{3} < \alpha \le \frac{5\pi}{6}$。
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a) $\dfrac{\pi}{6} \le \alpha \le \dfrac{5\pi}{6}$，带有 $\alpha \ne \dfrac{\pi}{2}$ · b) $\dfrac{2\pi}{3} < \alpha \le \dfrac{5\pi}{6}$（两个负根）。 a项打印模板不排除$\alpha = \frac{\pi}{2}$；但随后方程简化为 $-1 = 0$ 并且无解。
对于$x$、$x \in [0, 2\pi]$的什么值，会出现不等式$\log_{\cos x}(1 + 2\cos x) + \log_{\cos x}(1 + \cos x) > 1$？
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基数必须满足 $0 < \cos x < 1$。添加对数，不等式变为$\log_{\cos x}\big[(1 + 2\cos x)(1 + \cos x)\big] > 1 = \log_{\cos x}\cos x$。由于底数在0和1之间，所以对数递减，不等式等价于
$$(1 + 2\cos x)(1 + \cos x) < \cos x \iff 2\cos^2 x + 2\cos x + 1 < 0,$$这永远不会发生（三项式的判别式是 $4 - 8 < 0$）。标志$S = \varnothing$。
打印的模板给出$\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{3}$；但是，例如，对于 $\cos x = \frac{1}{4}$，第一个成员的值是 $\log_{1/4}\frac{15}{8} < 0$，并且不等式是错误的。
$x$、$x \in [0, 2\pi]$的什么值，验证不等式$\sqrt{1 - \cos x} < \operatorname{sen} x$？
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$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$
(MACK-72) 分别求解每个系统： a) $\operatorname{sen} x > \dfrac{1}{2}$ 和 $\cos x \ge \dfrac{1}{2}$； b) $\cos(\operatorname{sen} x) > 0$ 和 $\operatorname{sen}(\cos x) < 0$。
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a) $\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi < x \le \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · b) $\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$
正切不等式
求解不等式 $|\operatorname{tg} x| \le 1$。
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$|\operatorname{tg} x| \le 1 \iff -1 \le \operatorname{tg} x \le 1$。 $x$ 的图像必须位于直线 $r = OT_1$（$T_1$，纵坐标 1 在切轴上）和 $s = OT_2$（$T_2$，纵坐标 $-1$）所形成的角度 $r\hat{O}s$ 的循环交点处：
$-\frac{\pi}{4} + k\pi \le x \le \frac{\pi}{4} + k\pi$ 中对此进行了总结。
求解不等式 $\operatorname{tg} x > \sqrt{3}$。
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$\dfrac{\pi}{3} + k\pi < x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
求解不等式 $\operatorname{tg} x \le 0$。
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$\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x \le \pi + k\pi$
求解不等式 $-\sqrt{3} < \operatorname{tg} x \le \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
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$2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \le \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $\dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$（即 $-\frac{\pi}{3} + k\pi < x \le \frac{\pi}{6} + k\pi$）
求解不等式 $|\operatorname{tg} x| \ge \sqrt{3}$。
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$\dfrac{\pi}{3} + k\pi \le x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 或 $\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x \le \dfrac{2\pi}{3} + k\pi$
确定 $x \in [0, 2\pi]$ 使得 $1 \le \operatorname{tg} 2x < \sqrt{3}$。
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做$2x = y$，我们有$1 \le \operatorname{tg} y < \sqrt{3}$；检查循环，$\frac{\pi}{4} + k\pi \le y < \frac{\pi}{3} + k\pi$。像$x = \frac{y}{2}$：
$$\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}.$$对于 $x \in [0, 2\pi]$ $k = 0, 1, 2, 3$ 感兴趣的是：
- $k = 0$: $\frac{\pi}{8} \le x < \frac{\pi}{6}$;
- $k = 1$: $\frac{5\pi}{8} \le x < \frac{2\pi}{3}$;
- $k = 2$: $\frac{9\pi}{8} \le x < \frac{7\pi}{6}$;
- $k = 3$: $\frac{13\pi}{8} \le x < \frac{5\pi}{3}$.
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\operatorname{tg} 2x \ge -\sqrt{3}$。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}$ 或 $\dfrac{\pi}{3} \le x < \dfrac{3\pi}{4}$ 或 $\dfrac{5\pi}{6} \le x < \dfrac{5\pi}{4}$ 或 $\dfrac{4\pi}{3} \le x < \dfrac{7\pi}{4}$ 或 $\dfrac{11\pi}{6} \le x \le 2\pi$
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\operatorname{tg}^2 2x \le \operatorname{tg} 2x$。
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$0 \le x \le \dfrac{\pi}{8}$ 或 $\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{5\pi}{8}$ 或 $\pi \le x \le \dfrac{9\pi}{8}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{13\pi}{8}$ 或 $x = 2\pi$
假设 $x \in [0, 2\pi]$，求解不等式 $\operatorname{tg}^2 2x < 3$。
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$0 \le x < \dfrac{\pi}{6}$ 或 $\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{2\pi}{3}$ 或 $\dfrac{5\pi}{6} < x < \dfrac{7\pi}{6}$ 或 $\dfrac{4\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$ 或 $\dfrac{11\pi}{6} < x \le 2\pi$
(MAPOFEI-75) 求解不等式 $\operatorname{sen} x > \cos x$，得到 $0 \le x \le 2\pi$。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}\right\}$