Euler's Eyes
2026-10-22
正弦関数
サインは、 周期内で回転する点の高さです。点が回転すると、高さは $-1$ と $1$ の間で増減し、数学で最も有名な曲線である正弦波を描きます。
歴史
1000 年以上もの間、 サインは表の数字であり、そのグラフを描こうとは誰も考えませんでした。最初に知られている正弦波は、フランス人のジル・パーソンヌ・ド・ ロベルバルによるサイクロイド、つまり回転する車輪上の点によって記述される曲線に関する研究で、1634 付近に出現しました。サイクロイドの下の面積を計算するために、ロバーバルは「サイクロイドのコンパニオン」と呼んだ補助曲線を使用しました。このコンパニオンはまさに正弦波です。正弦を実数の関数として扱い始めたのは 1 世紀後のオイラーであり、このとき初めてグラフが今日の中心的な位置を獲得しました。
出典: Roberval (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor)。
日常生活での応用
- 音。 そこの音叉は 1 秒間に 440 回振動します。その付近の気圧は周期 $\frac{1}{440}$ s の正弦波です。
- 交流。 ブラジルのソケット電圧は、1 秒あたり 60 サイクルの正弦波です。
- 潮汐と季節 年間を通した潮の高さと日の長さは、$a + b \operatorname{sen}(cx + d)$ のような関数で近似できます。
理論
定義
定義サインとサイン関数
実数 $x$ が与えられた場合、$P$ をサイクル内のその画像とします。 $x$ の正弦（$\operatorname{sen} x$と表記します）は、系$uOv$に対する点$P$の座標$\overline{OP_1}$です。
それぞれの実数$x$と実数の$\overline{OP_1} = \operatorname{sen} x$、つまり$f(x) = \operatorname{sen} x$を対応付ける関数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ がサイン関数です。
プロパティ
性質サイン関数のプロパティ
- サイン関数の範囲は、すべての実数 $x$ に対して $[-1, 1]$: $\;-1 \le \operatorname{sen} x \le 1$ の範囲です。
- $x$ が第 1 象限または第 2 象限の場合、$\operatorname{sen} x$ は陽性となります。
- $x$ が第 3 象限または第 4 象限の場合、$\operatorname{sen} x$ はマイナスになります。
- $x$が第1象限または第4象限を通過すると、$\operatorname{sen} x$ は増加します。
- $x$が第2象限か第3象限を通過すると、$\operatorname{sen} x$ は減少します。
- サイン関数は周期的であり、その周期は$2\pi$です。
デモを見る
1。 $P$ が半径サイクル 1 内にある場合、その縦軸は $-1$ から $+1$ までのみ変化します。そして、その範囲内の各値は、サイクルのある時点から順序付けされます。
2 と 3。 第 1 象限と第 2 象限では、$P$ は $u$ 軸の上にあり、縦軸は正です。 3 番目と 4 番目では、$P$ は $u$ の下にあり、縦軸はマイナスです。
4 と 5。 $x$ が第 1 象限を通過する場合、$P$ は円弧 $\overset{\frown}{AB}$ を通過し、その縦軸は 0 から 1 まで増加します。第 4 象限では、$P$ が $B'$ から $A$ になり、縦軸が $-1$ から 0 に増加します。 $x$ が第 2 象限を通過する場合、$P$ は $\overset{\frown}{BA'}$ を通過し、縦軸は 1 から 0 に減少します。同様の事実が第 3 象限でも発生します。
6。 $\operatorname{sen} x = \overline{OP_1}$ と $k \in \mathbb{Z}$ の場合、$x$ と $x + 2k\pi$ にはサイクル内に同じ画像 $P$ があるため、$\operatorname{sen}(x + 2k\pi) = \overline{OP_1}$ になります。したがって、すべての実数 $x$ に対して、
$$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(x + 2k\pi),$$そして正弦関数は周期的です。周期は $2k\pi$ の最小の正の値、つまり $2\pi$ です (0 と $2\pi$ の間に $p$ はなくても構いません。$\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$ は完全に回転した後にのみ繰り返されるためです)。
グラフ: 正弦波
$x$ が区間 $[0, 2\pi]$ を横断するとします。画像$P$が完全に反時計回りに回転すると、$P$の縦軸は次のように変化します。
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | 成長する | $1$ | 減少する | $0$ | 減少する | $-1$ | 成長する | $0$ |
横軸に$x$、縦軸に$\operatorname{sen} x$をとると正弦波と呼ばれるグラフが得られます。
正弦関数の領域は $\mathbb{R}$ であるため、正弦波は $2\pi$ の右側と $0$ の左側に続き、同じスタンプを繰り返します。
正弦波のバリエーション
この章の演習では、$-\operatorname{sen} x$、$2\operatorname{sen} x$、$|\operatorname{sen} x|$、$\operatorname{sen} 2x$、$\operatorname{sen}\frac{x}{2}$、$1 + \operatorname{sen} x$、$\operatorname{sen}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ などの関数のグラフを求めます。これらはすべて同じ方法に従い、次の 3 つのステップに従います。
- 正弦引数 ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$) に都合の良い値を代入します。
- これらの値の正弦を計算します。
- それらから$x$と$y$を計算します。
まとめf(x) = a + b・sin(cx + d) のイメージと周期
実際の $a, b, c, d$ と $b \ne 0$ および $c \ne 0$ の場合:
$$\operatorname{Im}(f) = \big[a - |b|,\ a + |b|\big] \qquad\qquad p(f) = \frac{2\pi}{|c|}.$$- $a$ グラフを上 ($a > 0$) または下 ($a < 0$) に平行移動します。
- $b$ はグラフを縦方向に伸縮し（振幅は$|b|$）、$b < 0$の場合は$x$軸に反映します。
- $c$ グラフを水平方向に圧縮します。期間は $\frac{2\pi}{|c|}$ になります。
- $d$ グラフを水平方向に移動します。期間は $x = -\frac{d}{c}$ から始まります。
このデモンストレーションは、章リスト.