Euler's Eyes
2026-10-20
转型：构建新公式
在互动书中： 完成第六章，包含所有演示和练习.
增加转弯并不增加高度
转一圈 $30°$，然后再转一圈 $30°$，结果是 $60°$。但是$\operatorname{sen}30°+\operatorname{sen}30°=1$，同时$\operatorname{sen}60°=\sqrt3/2$。我们需要找出旋转时坐标如何变化。
这是一个高级步骤。如果字母珠还是新的，请先按照$75°$的示例，然后与成人一起返回演示。
加法公式演示
旋转角度$a$后，长度为1的水平向量指向$(\cos a,\operatorname{sen} a)$。垂直于它且长度为 1 的垂直向量指向 $(-\operatorname{sen} a,\cos a)$。它是第一个旋转向量加上 $90°$。
在这次旋转之前，角度点$b$是尺寸为$\cos b$的水平位移和尺寸为$\operatorname{sen} b$的垂直位移之和。旋转保留长度和位移总和。旋转$a$后，其位置为：
$$\begin{aligned} (\cos(a+b),\operatorname{sen}(a+b)) &=\cos b(\cos a,\operatorname{sen} a)\\ &\quad+\operatorname{sen} b(-\operatorname{sen} a,\cos a). \end{aligned}$$比较坐标，我们有：
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,$$$$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b.$$
将 $b$ 替换为 $-b$ 并使用奇偶校验可得出：
$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,$$$$\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen} a\cos b-\cos a\operatorname{sen} b.$$
将正弦公式除以余弦，然后除以 $\cos a\cos b$，我们得到：
$$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$最后一个表达式要求 $a$ 和 $b$ 的切线存在并且最终分母不为零。
示例：新值
作为$75°=45°+30°$：
$$\begin{aligned} \operatorname{sen}75°&=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$双人和三人
将$b=a$代入加法公式：
$$\operatorname{sen}2a=2\operatorname{sen} a\cos a,$$$$\cos2a=\cos^2a-\operatorname{sen}^2a=1-2\operatorname{sen}^2a=2\cos^2a-1.$$
使用 $\operatorname{sen}^2a+\cos^2a=1$ 时，余弦的第一种形式会翻转其他形式。对于正切，当存在项时，为 $\tan2a=2\tan a/(1-\tan^2a)$。
对 $2a+a$ 应用加法并代入前面的公式可生成 $\operatorname{sen}3a=3\operatorname{sen} a-4\operatorname{sen}^3a$ 和 $\cos3a=4\cos^3a-3\cos a$。通过重复相同的想法可以使角度倍增。
将角分成两半
在 $\cos2a$ 的表达式中，将 $a$ 替换为 $\theta/2$ 并隔离方块：
$$\operatorname{sen}^2\frac\theta2=\frac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\frac\theta2=\frac{1+\cos\theta}{2}.$$开根时，符号取决于$\theta/2$的象限。如果 $0<\theta<180°$，则两个根均为正。将正弦除以余弦，我们还可以得到：
$$\tan\frac\theta2=\frac{\operatorname{sen}\theta}{1+\cos\theta}.$$此表格需要 $1+\cos\theta\ne0$。等效形式 $(1-\cos\theta)/\operatorname{sen}\theta$ 仍需要 $\operatorname{sen}\theta\ne0$。
将总和转化为乘积
添加或减去加法和减法公式。然后写入$u=a+b$和$v=a-b$，从而得到$a=(u+v)/2$和$b=(u-v)/2$：
$$\operatorname{sen} u+\operatorname{sen} v=2\operatorname{sen}\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$$$\operatorname{sen} u-\operatorname{sen} v=2\cos\frac{u+v}{2}\operatorname{sen}\frac{u-v}{2},$$
$$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$
$$\cos u-\cos v=-2\operatorname{sen}\frac{u+v}{2}\operatorname{sen}\frac{u-v}{2}.$$
例如，$\operatorname{sen}75°+\operatorname{sen}15°=2\operatorname{sen}45°\cos30°=\sqrt6/2$。改变形状可以使钞票变短。
在日常生活中
- **旋转照片。**手机通过为每个点计算添加弧线的公式来旋转照片。
- **调音乐器。**两个几乎相同的音符产生音量上的“脉冲”——从和到乘积的转换解释了音乐家用来调音的节拍。
- **投掷。**投掷的范围取决于$\operatorname{sen} 2\theta$（双弧），因此$45^\circ$的角度是在没有空气阻力的情况下飞得最远的角度。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
1。 使用 $45°+30°$ 计算 $\cos75°$。
参见分辨率 1
$\cos75°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$，使用余弦总和公式。
2。 如果 $\operatorname{sen} a=3/5$ 和 $\cos a=4/5$，则计算 $\operatorname{sen}2a$ 和 $\cos2a$。
参见分辨率 2
$\operatorname{sen}2a=2(3/5)(4/5)=24/25$; $\cos2a=(16-9)/25=7/25$.
3。 使用减法减去 $\operatorname{sen}15°$。
参见分辨率 3
$\operatorname{sen}(45°-30°)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.
4。 通过一半公式求出 $\cos22{,}5°$。
参见分辨率 4
角度位于第一象限。我们选择正根：$\sqrt{(1+\sqrt2/2)/2}=\sqrt{2+\sqrt2}/2$。
5。 将 $\cos80°+\cos20°$ 转换为产品。
参见分辨率 5
平均值为 $50°$，差值的一半为 $30°$。结果：$2\cos50°\cos30°=\sqrt3\cos50°$。
6。 使用半正切公式求 $\tan30°$。
参见分辨率 6
对于 $\theta=60°$：$(\sqrt3/2)/(1+1/2)=\sqrt3/3$。