Euler's Eyes
2026-10-19
对称性：一张桌子服务整轮比赛
在互动书中： 完成第四章，包含所有演示和练习.
轮镜
在第一象限画一个点，在第二象限画它的倒影。高度相同，但水平位置改变符号。对称性使我们能够在仅知道第一象限的情况下计算整个旋转的值。
如果$\alpha$在$0°$和$90°$之间，则对应点为$(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$。将其反映在轴和中心上：
| 角度 | 坐标 | 正弦 | 余弦 |
|---|---|---|---|
| $180°-\alpha$ | $(-\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$ | $\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $180°+\alpha$ | $(-\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)$ | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $360°-\alpha$ | $(\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)$ | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $\cos\alpha$ |
演示：阅读反思
$150°=180°-30°$点是$30°$点在垂直轴上的反射。该轴上的反射将 $(x,y)$ 更改为 $(-x,y)$。因此，无需记住两个新的测量值：
$$\operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}30°=\frac12,$$$$\cos150°=-\cos30°=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
正切是这些测量值的商。因此，在 $150°$ 中，它是 $-1/\sqrt3=-\sqrt3/3$。同样的推理也证明了表中每一行的合理性。
标志图
在第一象限中，正弦和余弦为正。第二个是正正弦和负余弦。在第三种情况下，两者都是负面的。第四个是负正弦和正余弦。当两个符号相同时，正切为正；当两个符号不同时，正切为负。
不要将此规则应用于轴，就好像它们是象限一样：坐标为零并且某些函数不再存在。
负自旋、偶函数和奇函数
角度点 $\theta$ 和 $-\theta$ 是水平轴上的反射。所以：
$$\cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta.$$具有 $f(-x)=f(x)$ 的函数是 par；带有 $f(-x)=-f(x)$ 的为奇数。余弦和正割是一对。正弦、正切、余切和余割都是奇数，总是在各自的域内。
将高度换成宽度
在直角三角形中，两个锐角之和为 $90°$。与一个相对的一侧与另一侧相邻。像这样：
$$\operatorname{sen}(90°-\alpha)=\cos\alpha,$$$$\cos(90°-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha.$$
这就是余弦名称的由来：补码的正弦。对于切线，如果存在表达式，则为 $\tan(90°-\alpha)=\cot\alpha$。以弧度为单位，将 $90°$、$180°$ 和 $360°$ 替换为 $\pi/2$、$\pi$ 和 $2\pi$。
三步走法
要研究 $765°$，请移除两圈：$765°-720°=45°$。要学习 $225°$，请写入 $180°+45°$。首先确定象限，然后确定参考角，最后确定函数的符号。此方法允许您使用绘图检查结果。
在日常生活中
- 风的玫瑰。 东北、西北、西南和东南是彼此的镜像：方向 $45^\circ$ 已知，其他三个仅交换符号。
- **计算器。**在计算 $\cos 300^\circ$ 之前，机器使用对称性：$\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$。
- 时钟指针。 指针在 7 h 处的位置是 1 h 处位置相对于中心的反映，交换了两个符号坐标。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
**1。**计算$\operatorname{sen}210°$。
参见分辨率 1
$210°=180°+30°$。在第三象限，正弦为负：$-1/2$。
**2。**计算$\cos330°$。
参见分辨率 2
$330°=360°-30°$。余弦为正：$\sqrt3/2$。
**3。**计算$\tan135°$。
参见分辨率 3
$135°=180°-45°$。正切为负，其模为1；结果 $-1$。
**4。**简化$\operatorname{sen}(-\theta)+\operatorname{sen}\theta$。
参见分辨率 4
正弦为奇数；总和为 $-\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}\theta=0$。
**5。**计算$\cos765°$。
参见分辨率 5
我们删除 $720°$，留下 $45°$。结果是$\sqrt2/2$。
6。 如果是 $\operatorname{sen}20°=a$，则使用 $a$ 写入 $\cos70°$。
参见分辨率 6
作为 $70°=90°-20°$，我们有 $\cos70°=\operatorname{sen}20°=a$。