Geometria Analítica

A vida de René Descartes

Linha do tempo 1596Nasce em 31 de março, em La Haye, na região da Touraine, na França. 1607Entra no colégio jesuíta de La Flèche, um dos melhores da Europa. 1616Forma-se em Direito pela Universidade de Poitiers. 1618Entra para o exército de Maurício de Nassau, na Holanda, e conhece Isaac Beeckman. 1619Na noite de 10 de novembro, tem três sonhos que decide seguir como uma missão. 1628Muda-se para a Holanda, onde vive por cerca de 20 anos. 1633Desiste de publicar O Mundo ao saber da condenação de Galileu. 1637Publica o Discurso do Método, com o apêndice A Geometria. 1641Publica as Meditações sobre a Filosofia Primeira. 1643Começa a trocar cartas com a princesa Elisabeth da Boêmia. 1649Vai a Estocolmo, a convite da rainha Cristina da Suécia. 1650Morre em 11 de fevereiro, em Estocolmo. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1596 La HayeNasce numa pequena cidade da Touraine, que hoje se chama Descartes em sua homenagem. 1607–1614 La FlècheEstuda no colégio jesuíta de La Flèche, um dos melhores da Europa. Tem licença para ficar na cama de manhã. 1616 PoitiersForma-se em Direito pela Universidade de Poitiers. 1618 BredaEntra para o exército de Maurício de Nassau e conhece Isaac Beeckman, que o desafia com problemas de física e matemática. 1619 perto de UlmNuma noite de inverno, num quarto aquecido por uma estufa, tem os três sonhos que decide seguir como uma missão. 1628–1649 HolandaVive cerca de vinte anos nas Províncias Unidas, mudando de casa muitas vezes. Publica em Leiden o Discurso do Método (1637), com A Geometria. 1649–1650 EstocolmoVai a convite da rainha Cristina, que quer aulas às cinco da manhã. Morre de pneumonia em 11 de fevereiro de 1650. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. O caminho de Descartes, da Touraine à Holanda e, no fim da vida, à Suécia. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 10, 2026 Iniciar leitura

Fermat e a geometria analítica: uma curva em uma equação

Por quase dois mil anos, a geometria e a álgebra viveram separadas. A geometria dos gregos trabalhava com régua, compasso e figuras. A álgebra, que chegou à Europa pelos árabes, trabalhava com equações. No começo do século XVII, duas pessoas tiveram, ao mesmo tempo e sem combinar, a ideia de juntá-las: René Descartes e Pierre de Fermat. Uma frase que criou um campo Por volta de 1636, Fermat escreveu um pequeno texto em latim, Introdução aos lugares planos e sólidos. “Lugar” era o nome que os gregos davam a um conjunto de pontos que satisfazem uma condição, como o círculo, que é o lugar dos pontos a uma distância fixa do centro. Logo no começo, Fermat escreveu:

October 11, 2026 Iniciar leitura

Coordenadas: a geometria vira álgebra

A grande ideia de A Geometria é dar a cada ponto do plano um par de números. Escolhemos duas retas perpendiculares (os eixos) e um ponto é localizado pelas distâncias $x$ e $y$ até elas. Hoje chamamos isso de plano cartesiano, em homenagem a ele (Cartesius era o nome de Descartes em latim). Com coordenadas, uma figura vira uma equação. Veja três exemplos. Uma página de A Geometria (1637). Já aparecem as letras a, b para valores conhecidos e as potências escritas no alto.René Descartes · domínio público A distância entre dois pontos. Os pontos $P = (x_1, y_1)$ e $Q = (x_2, y_2)$ formam, com o ponto $(x_2, y_1)$, um triângulo retângulo de catetos $x_2 - x_1$ e $y_2 - y_1$. Pelo teorema de Pitágoras:

October 10, 2026 Iniciar leitura

Raiz quadrada com régua e compasso

A Geometria começa mostrando que as operações da aritmética podem ser feitas com segmentos. A mais bonita é a raiz quadrada. Para achar $\sqrt{a}$: Desenhe numa reta um segmento $AB$ de comprimento 1 e, em seguida, um segmento $BC$ de comprimento $a$. Trace uma semicircunferência com diâmetro $AC$. Levante por $B$ uma perpendicular até encontrar a semicircunferência no ponto $D$. Então $BD = \sqrt{a}$. Mude o valor de a: a altura BD é sempre √a. Para a = 4, 9 ou 2,25 a raiz é exata. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura

A regra dos sinais

Quantas raízes positivas pode ter um polinômio? Descartes deu uma regra simples: o número de raízes positivas é no máximo o número de trocas de sinal entre coeficientes consecutivos (e, como se provou depois, difere dele por um número par). Veja com $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Os sinais dos coeficientes são $+\ -\ +\ -$: três trocas. Então há 3 ou 1 raízes positivas. De fato, $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ com raízes 1, 2 e 3.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Os ângulos dos poliedros e a fórmula de Euler

Num vértice de um cubo se encontram três quadrados, e os ângulos deles somam $3 \times 90° = 270°$. Faltam $90°$ para completar uma volta: esse é o defeito do vértice. Por volta de 1630, Descartes descobriu que, num poliedro convexo, a soma dos defeitos de todos os vértices é sempre 720°. Poliedro Ângulos num vértice Defeito Vértices Soma Tetraedro 3 × 60° = 180° 180° 4 720° Cubo 3 × 90° = 270° 90° 8 720° Octaedro 4 × 60° = 240° 120° 6 720° Dodecaedro 3 × 108° = 324° 36° 20 720° Icosaedro 5 × 60° = 300° 60° 12 720° As faces em volta de um vértice, abertas no plano. A fatia vermelha é o defeito, o ângulo que falta para completar 360°. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura

O teorema dos círculos que se beijam

Na carta de 1643 à princesa Elisabeth, Descartes tratou de quatro círculos tangentes dois a dois. Chame de curvatura de um círculo o inverso do raio, $k = \frac{1}{r}$. O teorema diz que as curvaturas satisfazem $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ Aplicação: três moedas iguais de raio 1 se tocam duas a duas. Qual o raio do círculo que cabe no buraco entre elas? Com $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ e $k_4 = k$:

October 10, 2026 Iniciar leitura

Por que o arco-íris aparece a 42°

Em Os Meteoros, Descartes explicou o arco-íris usando a lei da refração, que publicou em A Dióptrica. Quando a luz passa do ar para a água, ela desvia segundo $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ em que $i$ é o ângulo de entrada, $r$ o ângulo dentro da água e $n \approx \frac{4}{3}$ para a água. (O holandês Willebrord Snell tinha achado a mesma lei antes, mas não publicou. Por isso ela se chama lei de Snell-Descartes.)

October 10, 2026 Iniciar leitura

Descartes e a ideia de função

Descartes nunca usou a palavra “função”. Mas foi ele quem tornou a ideia possível: em A Geometria, uma curva deixa de ser só um desenho e passa a ser uma relação entre dois números, $x$ e $y$. Quando um muda, o outro muda junto, seguindo uma regra. Nesta parte, contamos como essa ideia ganhou nome, símbolo e gráfico. Os cinco tópicos a seguir desenvolvem essa leitura e a história posterior da ideia de função.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Uma leitura do Cogito: ouvir e falar

Cogito ergo sum desenhado no plano cartesiano.Acervo Euler’s Eyes Aqui no Euler’s Eyes gostamos de ler o “penso, logo existo” como uma pequena máquina. O pensamento ouve alguma coisa (em latim, audire) e fala outra (fabulari). A regra que liga o que se ouve ao que se fala é a função. Palavras do método physis: a natureza; méthode: o raciocínio, o caminho; graphiko’s: os traços, o desenho; máthema: aquilo que se aprende, o ato de decifrar; functus: quem cumpre um encargo; dominus: o senhor, de onde vem a palavra domínio. Um exemplo: “falar duas vezes o que se ouve”. Os parênteses vazios funcionam como uma orelha esperando um número:

October 10, 2026 Iniciar leitura

Descartes e o problema dos canhões

Canhões e artilheiros numa gravura antiga.Acervo Euler’s Eyes Descartes conheceu a guerra de perto. Em 1618 serviu como voluntário no exército de Maurício de Nassau e, segundo seu primeiro biógrafo, Adrien Baillet, esteve em 1628 no cerco de La Rochelle, conduzido pelo cardeal Richelieu. Nos campos de batalha, um problema prático ocupava os artilheiros: com que ângulo inclinar o canhão para acertar um alvo a certa distância?

October 10, 2026 Iniciar leitura

A palavra "função"

A palavra vem do latim functus, particípio do verbo fungor: cumprir um encargo, exercer uma atividade. A função é aquilo que “faz o trabalho” de levar um número a outro. Já defunctus é quem não exerce mais função nenhuma, e daí vem a palavra defunto. Uma notação de Leibniz para funções, das cartas a Johann Bernoulli.Acervo Euler’s Eyes O nome e o símbolo levaram mais de um século para se firmar:

October 10, 2026 Iniciar leitura