Euler's Eyes
2026-10-11
競合するストレート
2 つの異なる交差線には、ちょうど 1 つの共通点があります。当然のことのように思えますが、まさにそれが、執筆にこれほど長い時間がかかった理由です。
発見者
ギリシャの幾何学者は常にこの事実を使用していましたが、ユークリッドはそれを公準に含めませんでした。 原論 の一部の古い版では、ギャップを埋めるために「2 つの直線はスペースを囲まない」という文言が追加されています。文献学者のJ. 19 世紀末にこの作品を批判的に編集した L. ハイバーグ は、この抜粋は後から追加されたものであると考えました。現代版はデヴィッド ヒルベルトの出現公理 (1899) から来ています。2 つの異なる直線に 2 つの共通点がある場合、2 つの点が 1 つの直線を決定するという公準に矛盾します。
歴史
この例は、ジオメトリがどのように成熟したかを示しています。図面を見れば、2 つの直線が 1 点で交差することが誰にでもわかりますが、図面は証拠ではありません。古代および中世の解説者は、ユークリッドがこの図を信頼した点に注目しました。 19 世紀には、これらの点は公理や定理に変換されました。
今日のデモンストレーションは 1 行に収まります。決定公準を使用するだけです。これは、不条理による証明の最初の良い例であり、この本で何度も登場する方法です。
日常生活での応用
- 交差点 2 本の直線道路が 1 つの交差点で交わります。住所「A 通りと B 通りの角」は 1 つの場所を示します。
- 絵の中心を見つけます 長方形の 2 つの対角線に糸で印を付けます。唯一の交わる点は釘が通る中心です。
- 照準器と照準器。 スコープやカメラの照準線は、2 本の競合する直線を使用してターゲット上の正確な点をマークします。
- ハサミ 刃は唯一の共通点であるネジを中心に回転します。
出典: Elements、book I (D. Joyce) · Hilbert (MacTutor)。
理論と作図
定義競合するストレート
2 つの線が同時であるのは、 それらに単一の共通点がある場合に限ります。
$$r \cap s = \lbrace P \rbrace$$競合するストレートはいますか？公準により、それらを構築することができます。デモに従って、図の構築をやり直してください。
競合するストレートの存在
- 存在仮定により、直線$r$、点$P \in r$、点$Q \notin r$をとります。
- $P$ と $Q$ は、一方が $r$ に属し、他方が属さないため、別個のものです。
- 決定仮定により、$P$と$Q$から直線$s = \overleftrightarrow{PQ}$が決定されます。
- 線 $r$ と $s$ は別個のものです。これらが一致した場合、$Q$ は $r$ 内にありますが、$r$ の外側で選択されています。
- 別個の線分 $r$ と $s$ は点 $P$ を共通に持ちます。それらに別の共通点があれば、それらは同じ直線になります（決定公準）。したがって、$r \cap s = \lbrace P \rbrace$:$r$ と $s$ は競合他社となります。
まとめ何を保管するか
| アイデア | 短い声明 |
|---|---|
| 原始的な概念 | 点、線、平面が定義されていません |
| 存在仮説 | 直線上、直線の外側、平面内には無限の点があります |
| 直線の決定 | 2 つの異なる点が直線を決定します |
| 計画の決定 | 同一線上にない 3 つの点が平面を決定します |
| インクルージョン | 平面上に 2 つの点がある線が含まれています |
| 競合他社 | 1 つの共通点を持つ 2 つの線 |