Euler's Eyes
2026-10-15
エヴァリスト・ガロアの遺産
この手紙は、それがふくむ考えの新しさと深さで判断するなら、おそらく人類の全文献の中で最も内容のある文書であろう。
— ヘルマン・ワイル『シンメトリー』（1952）
ガロアが残した数学は六十ページほどで、その多くは急いで書かれたものでした。それが理解されるまでに半世紀かかりました。理解されたとき、それは数学とは何かという考えそのものを変えました。数や図形を研究する代わりに、それらを変えずに残す変換を研究するのです。
群論
ガロア理論についての最初の本、フランスのカミーユ・ジョルダンの『置換論』は 1870 年に出ました。その二年後、ドイツのフェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムで、それぞれの幾何学をその変換群によって定めることを提案しました。ユークリッド幾何学は回転と平行移動で変わらないものを研究し、射影幾何学は射影で変わらないものを研究するのです。アーベルと同じノルウェー人のソフス・リーは、彼の名がついた連続群をつくり、ガロアが代数方程式を調べたように微分方程式を調べるのに使いました。
アーベルの仕事との類似は大きいのですが、ちがいもあります。アーベルは公式が存在しないことを証明しました。ガロアはなぜかを説明し、その説明はすべての方程式に同時に当てはまりました。数ではなく演算について語るこの新しい言葉の物語は、このサイトの記号論の本の章「ガロアとケイリー」でも語られています。
自然の中の群
- 物理学。 1918 年、ドイツのエミー・ネーターは、物理法則のあらゆる対称性が保存される量に対応することを証明しました。時間についての対称性はエネルギーの保存を、空間についての対称性は運動量の保存を与えます。1961 年、マレー・ゲルマンは $\mathrm{SU}(3)$ という群で素粒子を整理し、まだだれも見たことのない粒子、オメガ・マイナスを予言しました。それは 1964 年に発見されました。
- 化学。 結晶の中の原子の並び方の対称性の群はちょうど 230 種類あり、1891 年に分類されました。すべての鉱物、すべての金属、結晶化したすべてのタンパク質が、そのどれかに属します。
- 数論。 アンドリュー・ワイルズは 1995 年、楕円曲線に結びついた方程式のガロア群を調べることで、フェルマーの最終定理を証明しました。楕円曲線は、まさにアーベルの楕円関数から生まれた曲線です。
- 計算機。 有限体は誤り訂正符号と暗号の中にあります。
モンスター
5 次の公式をはばむ 60 個の元の群は単純です。より小さな部分に切り分けることができません。単純群はすべての有限群の「原子」であり、そのすべてを見つけることは 20 世紀の数学で最大の事業の一つでした。2004 年に完成した分類は、百人を超える数学者が書いた何万ページにもおよびます。いくつかの無限の系列のほかに、ちょうど 26 個の孤立した単純群があります。その最大のもの、モンスターの元の個数は
$$808\,017\,424\,794\,512\,875\,886\,459\,904\,961\,710\,757\,005\,754\,368\,000\,000\,000$$で、およそ $8\times10^{53}$ です。
残ったもの
- 方程式論。 方程式の群と、どの方程式が累乗根で解けるかを決める判定法。
- 群論。 その言葉自体、正規部分群の考え、群を段階に分解すること。
- 有限体。 彼の名がついた $p^n$ 個の元の体。
- 幾何学。 ヴァンツェル、クライン、リーを通じて、不可能な作図の説明と、対称性の研究としての幾何学という考え。
- 科学。 素粒子物理学、結晶学、暗号、符号。
覚えておきたいこと
- エヴァリスト・ガロアは 1811 年から 1832 年まで生きた。仕事はすべて 17 歳から 20 歳の間に行った。
- 方程式の群は、根の間の成り立つすべての関係を守る根の置換からなる。
- 群は、閉じていること、結合法則、単位元、逆元をもつ。三角形の六つの対称性は、アーベル群でない最小の群をつくる。
- 方程式が累乗根で解けるのは、その群を素数の指数をもつ正規な段階で切り分けられるとき、そしてそのときに限る。5 次では、60 個の元の群が切り分けられない。
- どの素数 $p$ とどの $n$ についても、$p^n$ 個の元の体がある。九つの元の体は、3 を法として $i^2=-1$ となる $i$ で得られる。
- 定規とコンパスでは、平方根を必要とする数しか作図できない。だから立方体は倍にできず、$60°$ の角は三等分できない。
出典： Peter M. Neumann、The Mathematical Writings of Évariste Galois（2011）· Hermann Weyl、Symmetry（Princeton University Press、1952）· Mark Ronan、Symmetry and the Monster（Oxford University Press、2006）。