OBMEP 2018 - 第 2 フェーズ

この投稿では、OBMEP 2018 の質問をコメント付きで解決します。

質問 1

次のように、クレイジーな機械が 2 つの果物を 1 つの果物に変えます。

2 つのリンゴをオレンジに変えます。
2 つのオレンジを 1 つのオレンジに変えます。
リンゴとオレンジをリンゴに変えます。

Q1 項目a

a) 3 つのリンゴを 1 つのリンゴに変えるには、機械を何回使用する必要がありますか?

データ: 最初は 3 個のリンゴがあります。

ステップ1

このリンゴを 2 つ機械に入れます
オレンジ色に変えます。
最終結果:
- 1 のリンゴと 1 オレンジ。

ステップ2

マシンに次のものを入れます。
- リンゴ。
- オレンジ。
結果: リンゴ。

答え: このマシンは 2 回使用する必要があります。

Q1 項目 b

b) この機械を数回使って、リンゴ 3 個とオレンジ 4 個を 1 個のリンゴに変える方法を説明してください。

ステップ1	ステップ2	ステップ3	ステップ4

ステップ1:

2 オレンジが 1 オレンジに変わります。
2 オレンジが 1 オレンジに変わります。
オレンジは 2 個残っています。

ステップ2:

2 個のリンゴは 1 オレンジと 1 個のリンゴに変わります。
1 リンゴは何もしません。
これで、1 個のオレンジと 1 個のリンゴが残ります。

ステップ3:

ステップ 1 の残り:
- 2 オレンジが 1 オレンジに変わります。
1 リンゴは何もしません。
1 オレンジは何もしません。

ステップ4:

ステップ 3 の残り:
- 3 個のオレンジと 1 個のリンゴ。
  - 2 オレンジが 1 オレンジに変わります。
1 個のオレンジと 1 個のリンゴが 1 個のリンゴに変わります。

したがって、1 個のリンゴが残ります。

Q1 項目 c

c) 2018 個のオレンジと 517 個のリンゴから始めて、果物が 1 つだけ残るまで機械を繰り返し使用しました。説明するなぜこの果物はリンゴしかないのか。

これは記号の規則に関する演習です。

なれ

$m=$リンゴ$=-1$と
$l=$オレンジ$=+1$

項の乗算	$$\Rightarrow$$	記号のルール
$$(+1) \times (+1) \quad = \quad + (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(+)\quad \times \quad (+) \quad = \quad (+) $$
$$(+1) \times (-1) \quad = \quad - (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(+)\quad \times \quad (-) \quad = \quad (-) $$
$$(-1) \times (+1) \quad = \quad - (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(-)\quad \times \quad (+) \quad = \quad (-) $$
$$(-1) \times (-1) \quad = \quad + (1)$$	$$\Rightarrow$$	$$(-)\quad \times \quad (-) \quad = \quad (+) $$

これにより、次のアルゴリズムが得られます。

ステップ 1 (オレンジ):

$$\underbrace{(+1)\times \dots (+1)}_{2018 \times } = (+1)^{2018} = (+1)~ \text{(que é laranja)}$$

ステップ 2 (リンゴ):
- 517 奇数のリンゴ $= (-1)^{516} \times (-1) $
- 516 個のリンゴ (機械) と 1 個のリンゴ (残り物)

$$\underbrace{(-1)\times \dots (-1)}_{516 \times } = (-1)^{516} = (+1)~ \text{(que é laranja)}$$

ステップ3（リンゴ、オレンジ）

$$(+1)\times \underbrace{(-1)\times (+1) }_{-1 ~ \text{(que é laranja) passo 2} } = (+1)\times (-1) = (- 1)~ \text{(que é maçã)}$$

質問 2

ジョアンジーニョは番号付きステッカーが必ず入っているアルバムを購入したページ 2 から始まりで終わる昇順で貼り付けられます。 61ページ。偶数ページには5シール、奇数ページには6シールを貼ります。

Q2 項目a

a) アルバムには合計何枚のステッカーを貼ればよいですか?

アルバムの偶数ページはセットによって与えられます。

$$\text{par} = \\{2,4,6, \dots, 60\\}$$

$$\text{ímpar} = \\{3,5,7, \dots, 61\\}$$

すべての偶数ページに、奇数の同等のページがあります。このようにして、偶数ページの数を計算するだけです。

$$\text{páginas} = \dfrac{60}{2}=30$$ チャレンジ

接着ステッカーについては、以下をご用意しています。

$$\text{página par} = 30 \text{ páginas }\times 5 \text{ figurinhas} = 150 \text{ figurinhas}$$$$\text{página ímpar} =30 \text{ páginas }\times 6 \text{ figurinhas} = 180 \text{ figurinhas}$$

したがって、合計は $150+180=330$ 枚のステッカーになります。

Q2 項目 b

b) シール番号196はどのページに貼ればよいですか？

2 ページの各セットには次のものがあります。

ペア5ステッカー
奇数の 6 ステッカー
合計 11 枚のステッカー

次に、ページ検索を適用してみましょう。 ist0 については、除算を計算します。

$$196 \div 11 = \dfrac{196}{11} = 17,\dots$$ チャレンジ

この除算の余りは9です。

奇数ページに進むと、次のようになります。

6 ステッカーは奇数ページに収まります。
偶数ページ 18 に行きましょう。
ページ 18 の位置 4。

しかし、次のことを覚えておく価値があります。

アルバムは 2 ページから始まります
ページのペアを計算するので、合計ページ数は次のようになります。
- $18\times 2 = 36$ ページ
- 2 ページから始まり、次に $36+1=37$ ページになります。

したがって、ステッカー 196 はページ 37 に配置されます。

Q2 項目 c

c) アルバムを完成させるために、ジョアンジーニョはステッカーを何パックも購入しました。最後に欠けていたステッカーを貼り付けた後、ステッカーを繰り返し貼り付けた数は、貼り付けたステッカーの数の 8 倍でした。

アルバムの価格が 20 レアル、ステッカー 5 枚入りの各パックの価格が 2 レアルだとすると、ジョアンジーニョはアルバムを作るのにいくら使ったでしょうか? 満杯？

ジョアンジーニョには以下のような状況がある。

330 個のステッカー (文字 a) を購入し、貼り付けました。
(ステートメント): 8 回 330 回繰り返し貼られたステッカー。
- 彼は$\underbrace{(8+1)}_{\text{8 repetidas e 1 colada} } \times 330 = 9\times 330 = 2970$ステッカーを購入しました、
- 各パッケージには 5 個のステッカーが付いているため、合計パッケージは $2970 \div 5 = 594$ 個のパッケージになります。
各パッケージのコストは 2 になります:
- 彼はステッカーを買うために $594\text{ pacotes } \times 2\text{ reais} = 1188$ レアルを費やしました。
- アルバム費用 20 レアル、

ジョアンジーニョは過ごした

$20 + 1188 = 1208$ でアルバムが完成します。

質問 3

絵の中の小さなカエルは、ある岩から隣の岩へ飛び移り、ぐるりと回ります。湖の周り。たとえば、石 A から時計回りに 2 回ジャンプすると、石 C に到達します。

Q3 項目a

a) 石 A から始めて、カエルは時計回りに 15 回ジャンプして最終的にどの石に着きますか?

図とステートメントから次のことがわかります。

ホームストーンA
カエルは9ジャンプ後、再び石Aに到着します
カエルはさらに6ジャンプして続きます
カエルは石Gで止まります
- A から A 9 へジャンプ
- A～G6へジャンプします。
- A から G (9+6) =15 へジャンプ

Q3 項目 b

b) 再度、A から時計回りに開始して、カエルは 2018 回ジャンプし、ジャンプ数が 8 の倍数になるたびに常に方向を変えます。彼は最終的にどの岩にたどり着くのでしょうか？

この図では、次のことがわかります。

8 時計回りにジャンプ ($A \longrightarrow I$)
8 反時計回りにジャンプ ($I \longrightarrow A$)
合計スキップ数 16

2018 ジャンプ後は次のようになります。

$2018 \div 16 = 126$ と余り 2。
126ジャンプを行ったり来たりすると石Aにたどり着きます
小さなカエルは石Cの上に行き着きます。
- 割り算の余りは 2 なので、A から C になります。

Q3 項目 c

c) 最後に、A から始めて時計回りに、小さなカエルは 810 回ジャンプし、毎回必ず方向を変えます。ホップ数は 8 の倍数または 12 の倍数であるため。彼は最終的にどの岩にたどり着くのでしょうか？

カエルのステップ:

ホームストーンA;
8 石 I にジャンプします。
方向を変える
- 4 個の岩 ($8 + 4 = 12$) をジャンプします。
- 石Eに到着。
方向を変える
- 4 個の岩 ($12 + 4 = 16$) をジャンプします。
- 再びストーン I に到着します。
方向を変える
- 8 個の岩 ($16 + 8 = 24$) をジャンプします。
- 石 A を返します。
ルート全体を再度開始します
- 24ジャンプ後は必ず石Aに戻ります。

それではルーチンを計算してみましょう。

手順:

$810 \div 24 = 33$ と余り 18 として、
$24 \times 33 = 792$ 回ジャンプすると石 A に到達します
さらに 18 回ジャンプする必要があります。

石のリトラクタント:

Aから開始
余り$18 = 8 + 4 + 4 + 2$
- 8 石から石 I;
- 方向を変える 4 石 E にジャンプします。
- 方向を変更 4 石 I にジャンプして戻ります。
- 方向を変えて残り2ジャンプ、Iから石Gへ。

質問 4

マリリアには、以下に示すように 7 つの木製部品があります。

彼女は、ピースを別のピースの上に置くことなく、長方形のボード上のすべてのマス目をこれらのピースで覆うことによって遊びます。各ピースはボード上の正確に 4 マスをカバーする必要があります。

Marília がボード 2 x 6 をカバーした様子をご覧ください。

Q4 項目a

a) マリリアピースを 3 つ使って下のボードを覆います。

たとえば次のような可能性がたくさんあります。

Q4 項目b

b) ボード上の同じ数の白いマスと灰色のマスを覆わない駒はどれですか?

ピースの正方形内の数字を近傍数とします。

1 には 1 のネイバーがあります
2 には 2 の隣接要素があります
3 には 3 の隣接要素があります

2 個を超える隣接要素を持つ唯一のピースは、3 個の隣接要素を持つ家を持つ T ピースです。

したがって、T ピースは、灰色の正方形と同じ数の白い正方形をカバーしません。

Q4 項目 c

c) マリリアが以下のボードをカバーできない理由を説明してください。

完全なボードには次のものが含まれます。

28 軒の家。
- 14 白;
- 14 灰;

文字 b から、ボードをカバーするには T ピースが問題であることがわかりました。

このようにして、T ピースを使用しないという不条理を想定します。

あなたの状況は次のとおりです。

6 個
基板カバー
- $6\times 4 =24$ 屋根付きの家
残り:
- 2 個の白い四角と 2 個の黒い四角、または
- 2 個の黒い四角と 2 個の白い四角

残っているのは彼らが持っている T ピースだけです。

3 の黒い四角と 1 の白い四角または
3白と1黒の正方形

これでは残りの家をカバーすることができなくなります。

質問 5

「数学者」がヘレナと一緒に新しい魔法をテストします。彼は彼女にこう言います。

1 から 9 までの 2 つの数字を考えてください。1 つは偶数、もう 1 つは奇数です。
考えた数字の合計を計算します。
次に、次の数値の最大値と最小値の差を計算します。あなたはそう思いました。
合計に差を掛けます。
この掛け算の結果がどうなったかを教えてください。あなたが考えた数字を調べてみましょう。

Q5 項目a

a) ヘレナが 4 と 9 という数字について考えたら、数学者に何の数字を言うでしょうか?

声明によると：

4 + 9 = 13 e
9 – 4 = 5.

ヘレナは次のように説明します。

13と5の乗算
マジシャンは 65 という数字を聞きます。

Q5 項目b

b) ヘレナが 21 と言ったら、どんな数字を思い浮かべますか?

数値 21 は、2 つの方法で 2 つの自然数の積として書くことができます。

1つ目は1×21です。
- この場合は機能しません。1 と 9 の間に、合計が 21 となる 2 つの数値がありません。
2番目は3×7です。
- 合計に 3 を選択した場合:
  - 選択肢としては 1 と 2 のみです。
  - 差は1です。
  - それは与えません。
- 差分として 3 を選択した場合:
  - 3 は、求めた数値と
  - これらの数値の合計は 7 でなければなりません。

この場合、合計 7 の可能性は次のとおりです。

1 e 6;
- $6 - 1 = 5 \neq 3$
2 e 5;
- $5 - 2 = 3$
3 e 4;
- $4 - 3 = 1 \neq 3$

そこでヘレナは2と5という数字を考えました。

Q5 項目c

c) ヘレナがいつも奇数を言う理由を説明してください。

「数学者」によって説明されたルール:

ヘレナは常に偶数と奇数を考えなければなりません。
- 2 つの数値 (偶数、奇数) の和または差は常に奇数になります (奇数と偶数の投稿を参照)。
- 2 つの奇数の積は奇数です。
- ヘレナは決して偶数を言いません。

Q5 項目d

d) ヘレナが 15 と言ったら、数学者はどの数字を言うのか疑問に思う理由を説明してください。彼は考えた。

ヘレナが 15 と言ったら、可能性は次のとおりです。

1 x 15 または 3 x 5 と考えられる数値の和と差の積について
- 最初の可能性 (1x15)
  - 考えられる数値の合計は 15 であり、その差は 1 です。
  - 合計が15になるように、
    - 考えられる数字は、6 と 9 または 7 と 8 です。
    - 9 – 6 = 3 および 8 – 7 = 1 であるため、
    - ヘレナが考えた数字は7と8です。
- 2 番目の可能性 (3 x 5) の場合
  - 考えられる数値の合計は合計 5 と差 3 になるはずです。
    - 番号は 2 と 3、または 1 と 4 です。
    - この場合、3 – 2 = 1、4 – 1 = 3 となりますので、
    - ヘレナが考えた数字は1と4です。

考えられる 2 つの答え (7 と 8、または 1 と 4) を考えると、「数学者」はヘレナが考えた数字について確信が持てません。

質問 6

自然数は、図の各空円の内側に書かれなければなりません。そのため、整列して連続する 3 つの円に書かれた数字の和は常に同じになります。

Q6 項目a

a) 赤丸の中に数字を書きますか?

声明、

3 つの整列して連続する円の中に書かれた数字の合計は常に同じです。
x を任意の自然数とすると、
2と3の数字が書かれた円の間にある2つの円の中にあります。

次のステップは次のとおりです。

3 の後に、シーケンスの最初の番号である 2 を取得します。
続いてX
したがって、赤丸内の数字は3となります。

Q6 項目b

b) 書かれたすべての数値の合計が7の倍数であることを示します。

フィールドに入力する場合:

7 に数値 2 を掛けたもの (2 の数)。
7 に数値 3 を掛けたもの (3 の数)。
7 倍の数値 x (x のカウント);
したがって、すべての数値の合計は 7 の倍数になります。

Q6 項目c

c) 書かれた数字の合計が63となるためには、青丸の中にどの数字を書けばよいでしょうか？

項目 b) から、青い円が $x$ であることがわかります。

書かれたすべての数字の合計は63となります。

$$ \begin{aligned} 63 &= 7 (2+3+x) \\ \dfrac{63}{7} &= 5+x \\ 9 &= 5+x \\ x &= 9-5 \\ x &= 4 \\ \end{aligned} $$

Euler's Eyes