Euler's Eyes
2026-10-11
垂線の存在と独自性
直線の外側の点から、直線に対する垂線を下げるにはどうすればよいでしょうか?これは、著者名が登録されている数少ない古い号の 1 つです。
発見者
プロクロスは、 直線の外側の点を通る垂線を引く問題の最初の研究はキオスのエノピデス (紀元前5世紀) であるとしています。オイノピデスは、 日時計の垂直棒であるグノモンにちなんで、この線を「グノモニック」と呼びました。古典的な解決策はユークリッドの原論にあります。命題 I.11 は垂線を直線上の点だけ上げ、I.12 は垂線をその外側の点だけ下げます。
歴史
ユークリッドの構造は単純です。点を中心として、直線を 2 点で切る円が描かれます。垂線はそれらの間の中点を通過します。証明では合同な三角形を使用します。これは前の章と同じ方法です。
線分の中点を通る垂線垂直二等分線は、学校の幾何学をはるかに超えて重要性を増しました。 1854 では、 医師のジョン・ スノウ がロンドンのコレラによる死亡者数をマッピングし、各症例を最寄りの給水ポンプに関連付け、近隣を近接性によって分割しました。点間の 垂直二等分線 によって領域を分割すること (「ボロノイ図」) は、どの学校、病院、またはアンテナがどの住所にサービスを提供するかを決定するために今でも使用されています。
日常生活での応用
- エッジへの最短経路 直線の外側の点からその点への最短経路は垂線です。プールの端まで泳ぐ人はこのラインに従います。
- 建物の高さ 高さは、傾斜した階段に沿ったものではなく、床に対して垂直に測定されます。
- 垂直二等分線. 2 つの学校から同じ距離にある必要があるバス停は、それらを結合するセグメントの 垂直二等分線 にあります。
- 携帯電話。 通常、携帯電話は最も近いアンテナに接続します。各アンテナの領域間の境界は 垂直二等分線 に従います。
出典: エノピデス (MacTutor) · 要素、命題 I.12 · 要素、命題 I.11。
理論と作図
定理線上の点に垂直
平面内では、直線$r$上の点$P$を通り、$r$ に垂直な単一の直線$s$が通ります。
存在: 角度を移動することにより、$r$ の半平面の 1 つに直角に合同な角度 $s_1\hat{P}r_1$ を構築します。 $s_1$ を含む線 $s$ は $r$ に垂直です。 一意性: 2 つの異なる直線 $x$ および $y$ ～ $P$ が $r$ に垂直である場合、光線 $Px_1$ および $Py_1$ は同じ半平面上で、$Pr_1$ と 2 つの異なる直角を形成します。これは角度の伝達と矛盾します。
定理線の外側の点に垂直
直線$r$の外側の点$P$を通り、$r$ に垂直な単一の直線が通過します。
デモを見る
存在 $O$に$r$を切る直線を$P$に引き、$Or_1$を$r$の光線とします。 $P$の反対側の半平面で、$Q$を$r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q$と$\overline{OP} \equiv \overline{OQ}$と一緒にとります。直線 $s = \overleftrightarrow{PQ}$ は $r$ に垂直です。$\overline{PQ}$ が $X = O$ で $r$ を切る場合、角度は直角になります。 $X \neq O$ の場合、LAL によれば、$\triangle OXP \equiv \triangle OXQ$ と $O\hat{X}P \equiv O\hat{X}Q$ は直線です。
一意性。 別個の $x$ と $y$ が $r$ に垂直な $P$ を通過した場合 ($X$ と $Y$ において)、$\overline{YQ} \equiv \overline{YP}$ で $\overrightarrow{YP}$ の反対側の光線で $Q$ を取得します。 LAL では、$\triangle PXY \equiv \triangle QXY$ と $Q\hat{X}Y$ は直線になります。したがって、$X$ を通過すると、$r$ に対する 2 つの垂線 ($x$ および $XQ$) が通過します。これは、前の定理と矛盾します。
高さと垂直二等分線
定義三角形の高さ
三角形の高さとは、一辺の支持線に垂直な線分であり、その線上に端があり、反対側の頂点があります。 $H_a$ が直線 $BC$ と $A$ を通る垂線との交点である場合、$\overline{AH_a}$ は辺 $\overline{BC}$ (または辺 $a$、または頂点 $A$) に対する高さです。 $H_a$ は足の高さです。
定義セグメントの垂直二等分線
線分の垂直二等分線は、線分の中点を通る垂線です。