前回の投稿では、結果を正式に実証することなく、公準と公理について説明しました。ここで、正式なデモンストレーションの概念を開始します。このために、トピックを開始するためにいくつかの基本的な概念を示します。

コンセプト

数学における最初の非常に重要な概念は定義です。

定義: は数学用語の意味を説明する文です。

命題

以前の投稿でこの概念を定義しましたが、今回はより簡単な方法で説明します。

命題: は平叙文です。

  • シンプルであれば、それ自体に意味があるもの。
  • すべての論理的可能性において真である場合、それはトートロジーであると言われます。
  • すべての論理的可能性において真である場合、それはトートロジーであると言われます。
  • これまでの可能性以外に他の可能性はありません。

口論

次の定義は、良好な結果を構築するために同様に重要です。

引数: は有限数列 $n+1$ 命題です:

  • 仮説のセット: $\mathcal{H} = \\{H_1, H_2, \dots, H_n\\}$
  • 仮説: $T$、仮説の結果です。

推測

推測: は、これまで実証も反駁もされていない命題です。

このように、予想はこれまで証明されていない命題ですが、結果を定理にするためには証明する必要があります。

定理

非常に重要な概念は定理という論理命題、 つまりトートロジーです。トートロジー数学において最も重要な結果は、条件接続詞および/または二条件接続詞を使用した結果です。

定理: は証明によって保証された命題です。

結果を実証するということは、基本的には論文エッセイをまとめるということです。このために、真理値表を使用して、命題が実際にはトートロジーであることを示します。

前回の投稿では、公理と公準は証明なしで受け入れられる事実であることを見ました。

今後、結果を実証するために、次のような暫定的な結果を使用します。

  • 補題: は、より優れた結果を実証するために使用されることを目的とした結果です。
  • 提案: は、より大きな結果を実証するために使用されることを目的とした結果です。

前述したように、 これらのトートロジーは定理や帰結としてより大きな結果を示すために使用されます。

当然のこと

結果: は、証明された定理から直接確立できる定理です。

より具体的には、定理が他のステートメントを簡単に結論付けるのに役立つ場合、この結果は定理の必然と呼ばれます。

論理的な含意と二重含意

トートロジーの概念では、$p$ および $q$ 命題と $p \rightarrow q$ トートロジーを定義するときに次のように言うことをこれまで見てきました。

  • $p \rightarrow q$ は暗示です。
  • $p \Rightarrow q$ は論理的な意味合いです。

同様に、$p$ と $q$ を命題、$p \leftrightarrow q$ をトートロジーとすると、次のようになります。

  • $p \leftrightarrow q$ は二重含意です。
  • 後者は、$p$ と $q$ が論理的に同等であることを意味します。
  • $p \Leftrightarrow q$ は論理的な二重含意です。
  • 後者は、$p$ と $q$ が同等であることを意味します。

したがって、これらの概念を使用すると、次の結果が提案できます。

論理的含意の定理

定理: $p, q$ と $r$ を命題とする。それから：

  • 反射: $p\Rightarrow p$
  • 他動詞: $(p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow r) \Rightarrow (p\rightarrow r)$
  • 簡略化: $p \wedge q \Rightarrow p$
  • 追加: $p \Rightarrow p \vee q $
  • Modus Ponens (ラテン語で「肯定することで肯定する方法」を意味します): $(p \wedge (p \rightarrow q)) \Rightarrow q$
  • Modus Tollens (ラテン語で「否定によって否定するモード」を意味します): $(p \rightarrow q)\sim q \Rightarrow \sim p$
  • 不条理への還元（ラテン語で「不条理への還元」を意味します）： $(\sim p \rightarrow (q \wedge \sim q)) \Rightarrow p$
  • 対称性: $(p \leftrightarrow q) \Rightarrow (q \leftrightarrow p) $
  • 他動詞: $(p \leftrightarrow q) \wedge (q \leftrightarrow r)\Rightarrow (p \leftrightarrow r) $
  • 論理和: $(p \leftrightarrow q) \wedge \sim p \Rightarrow q $

デモ: 真理値表を適用するだけです。

論理的二重含意の定理

定理: $p, q$ と $r$ を命題とする。それから：

  • 反射: $p\Leftrightarrow p$
  • 二重否定: $\sim (\sim p)\Leftrightarrow p$
  • 接続詞の否定 - モルガンの法則: $(p \wedge p)\Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$
  • 選言の否定 - モルガンの法則 $\sim (p \vee p)\Leftrightarrow (\sim p \wedge \sim q)$
  • 条件の否定 $\sim (p\rightarrow q) \Leftrightarrow (p \wedge \sim q)$
  • 二条件の否定 $\sim (p\leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$
  • 可換性 $\vee$: $(p\vee q) \Leftrightarrow (q\vee p)$
  • 可換性 $\wedge$: $(p\wedge q) \Leftrightarrow (q\wedge p)$
  • 結合性 $\vee$: $(p\vee q)\vee r \Leftrightarrow p\vee (q\vee r)$
  • 結合性 $\wedge$: $(p\wedge q)\wedge r \Leftrightarrow p\wedge (q\wedge r)$
  • 分配率: $p \vee (q\wedge r) \Leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)$
  • 分配率: $p \wedge (q\vee r) \Leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
  • 二条件: $(p\leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$
  • ポジティブカウンター $(p\rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim p \rightarrow \sim q)$
  • べき等 $(p\vee p) \Leftrightarrow p$ および $(p\wedge p) \Leftrightarrow p$
  • 推移性 $(p\Leftrightarrow q)$ および $(q\Leftrightarrow r)$ $\Leftrightarrow (p\Leftrightarrow r)$

デモ: 真理値表を適用するだけです。