Euler's Eyes
2026-10-11
フェルマーの最終定理：余白からワイルズの証明まで
三平方の定理は誰もが知っています。$3^2+4^2=5^2$。このような整数の三つ組は、$5,12,13$ や $8,15,17$ のように無限にあります。
では 3 乗ならどうでしょう？ $a^3+b^3=c^3$ を満たす正の整数はあるでしょうか？ 4 乗なら？
余白の書き込み
1637 年ごろ、平方数を二つの平方数に分けるというディオファントスの問題を読んでいたフェルマーは、本の余白にラテン語でこう書きました。
立方数を二つの立方数に、4 乗数を二つの 4 乗数に、一般に 2 乗より高いべきを二つの同じべきに分けることは不可能である。私はこれについて真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。
— ピエール・ド・フェルマー、1637 年ごろ
今日の言葉で言えば、$n>2$ のとき、次を満たす正の整数 $a$、$b$、$c$ は存在しない。
$$a^n+b^n=c^n.$$この書き込みが世に出たのは 1670 年、フェルマーの息子が父の書き込み入りの本を出版したときでした。証明は見つかりませんでした。余白のほかの主張は、時とともにすべて証明されるか否定されるかしました。これが最後まで残ったので、最終定理と呼ばれるようになったのです。
358 年の挑戦
フェルマー自身は無限降下法で $n=4$ の場合を証明しました。ほかの場合も一つずつ片づいていきました。
- 1770 年：オイラーが $n=3$ の場合を証明。
- 1825 年：ディリクレとルジャンドルが $n=5$ の場合を証明。
- 1820 年代：真剣に扱ってもらうため男性の名前で手紙を書いていたソフィー・ジェルマンが、ある種類の素数全体に当てはまる一般的な結果を証明。
- 1839 年：ラメが $n=7$ の場合を証明。
- 1847 年：エルンスト・クンマーが新しい考えを生み出し、100 までの「正則」素数について、三つを除いて定理を証明。
しかし、すべての指数についての証明を見つけた人はいませんでした。
なぜ素数だけ考えればよいのか
道のりの一部は、ここで証明できます。もし $n=6$ で解があれば、
$$a^6+b^6=c^6\quad\Longrightarrow\quad(a^2)^3+(b^2)^3=(c^2)^3,$$となり、$n=3$ の解が得られます。一般に、$n$ が奇素数の約数 $q$ をもてば、$n$ の解は $q$ の解になります。$n$ が奇素数の約数をもたなければ、それは 2 より大きい 2 のべき、したがって 4 の倍数で、その解は $n=4$ の解になります。
結論：$n=4$（フェルマーが済ませた）と、すべての奇素数について定理を証明すれば十分です。この帰着は簡単です。難しいのはまさに、無限にある素数のほうなのです。
確かめるだけでは足りない
コンピュータを使って、指数が数百万まで解がないことが確かめられました。でもそれは証明ではありません。定理はすべての整数についてのもので、どれほど大きな探索でもそのすべてには届きません。数学では、100 万の例も一つの証明の代わりにはなりません。
図書館の少年
1963 年、アンドリュー・ワイルズという 10 歳のイギリスの少年が、ケンブリッジの公立図書館の本でこの問題に出会いました。彼は衝撃を受けました。自分にも理解できる主張なのに、3 世紀もの間、誰も証明できていない。いつか自分が解こうと心に決めました。
ワイルズは数学者になり、何年もその夢をわきに置いていました。1986 年、ケン・リベットは、最終定理が楕円曲線とモジュラー形式についての別の予想から導かれることを証明しました。それはワイルズがよく知っている分野でした。彼はすべてを投げうち、ほとんど誰にも告げずに、自宅の屋根裏で7 年間ひそかに研究しました。
1993 年 6 月、ケンブリッジでの一連の講演で、彼は証明を発表しました。聴衆は立ち上がって拍手しました。しかし査読で、専門家たちが穴を見つけました。ワイルズは 1 年以上かけて修正を試み、かつての教え子リチャード・テイラーの助けを借りて、あきらめかけたところで、1994 年 9 月に突破口を見つけました。100 ページを超える完全な証明は 1995 年に発表されました。
2016 年、ワイルズは数学で最高の栄誉の一つ、アーベル賞を受賞しました。
フェルマーは本当に証明をもっていたのか？
ほぼ確実に、もっていなかったでしょう。ワイルズの証明は、フェルマーが知りえなかった 20 世紀の数学を使っています。もっともありそうなのは、フェルマーが一部の指数にしか通用しない証明（おそらく $n=4$ の場合を一般化したもの）を見つけ、あとで誤りに気づいたということです。実際、後の手紙で彼は $n=3$ と $n=4$ の場合を挑戦問題として挙げていますが、一般の場合については二度と語っていません。
練習：指数 6 の解は、どの素数の指数の解を与えるか？
$6=2\cdot3$ なので、$(a^2)^3+(b^2)^3=(c^2)^3$ と書けば、素数の指数 3 の解になります。
練習：では指数 8 の解は？
8 は奇素数の約数をもちません。$8=4\cdot2$ なので、$(a^2)^4+(b^2)^4=(c^2)^4$ は $n=4$ の解になり、それはフェルマーが不可能だと証明したものです。
資料： フェルマーの伝記、MacTutor · アンドリュー・ワイルズの伝記、MacTutor · 2016 年のアーベル賞。