Euler's Eyes
2022-11-22
機能コンセプト
対応の法則は、関数の主題に対する現代の定義です。さらに、機能紹介記事ですでに説明したドメインとイメージの概念をルネ・デカルトのビジョンの下で定義することが重要です。
ベルヌーイ家に敬意を表して
数学史上、ベルヌーイ家ほど多くの有名な数学者を輩出した家系はありません。スペイン系オランダ出身のこの家族は、戦争を逃れて 1583 スイスのバーゼルに移住しました。一族の約12人は数学と物理学の分野で名声を博し、そのうち4人が会員に選出された フランス科学アカデミーからの外国人。
数学に優れた最初のベルヌーイは、それぞれニコラウスの 5 番目と 10 番目の子供であるジャックとジャンでした。これを次の図に置き換えます。
ジャックは他の国の科学者に会うために何度も旅行しました。彼は、無限小に関する研究、雑誌「Acta Eruditorum」（学者のノート）に掲載された関数の最大値と最小値に関する記事、無限級数に関する研究で有名でした。 「ベルヌーイの不等式」として知られる有名な結果が現れます。
ジャックは曲線に強い興味を持っており、特に半立方放物線、レムニスケート曲線、カテナリー曲線、等時曲線、対数螺旋など、いくつかの曲線を研究しました。
ジャンとジャックの兄弟は、ライプニッツと熱心な文通を続け、全員が同じ雑誌「Acta Eruditorum」（学者のノート）に記事を寄稿しました。ジャックは、確率に関する最古の著作と考えられる古典『推測の技術』の著者でもあります。 ジャンはニコラ、ダニエル、ジャン 11 の父親でした。
ニコラはサンクトペテルブルクの数学の教授であり、ダニエルとジャン２世はバーゼルの教授でした。もう一つのベルヌーイ。これら三人のいとこであるニコラス二世は、しばらくの間パドヴァでガリレオの地位を占めました。
若い世代の中で、流体力学と確率の成績で最も目立ったのはダニエルでした。 18 世紀に数学で証明を達成し、その名にふさわしいベルヌーイが他にもいました。
モチベーション
たとえば集合を考えてみましょう
$$A = \\{0, 1, 2, 3\\} \text{ e } B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$$そして、A から B への次の二項関係:
バイナリ比 1
二項関係を次のようにします。
$$\mathcal{R}_1 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=x+1\\}$$$A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ を使用すると、次のような解決策が得られます。
$$R_1 = \\{(0,1), (1,2), (2,3)\\}$$
3 を除く各要素 $x \in A,$ には、要素が 1 つだけ存在します。 $y \in B$ そのような $(x, y) \in \mathcal{R}_1.$
要素 $3 \in A,$ には、$(3, y) \in \mathcal{R}_1.$ となるような $y \in B$ はありません。
バイナリ比 2
二項関係を次のようにします。
$$\mathcal{R}_2 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y^2=x^2\\}$$$A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ を使用すると、次のような解決策が得られます。
$$R_2 = \\{(0, 0), (1, 1), (1, -1),(2, 2), (3, 3)\\}$$
1 を除く各要素 $x \in A,$ には、要素が 1 つだけ存在します。 $y \in B$ そのような $(x, y) \in \mathcal{R}_2.$
要素 $1 \in A,$ には、$(1, 1), (1, -1)\in \mathcal{R}_2.$ のような 2 つの要素 $1,-1 \in B$ があります。
バイナリ比 3
二項関係を次のようにします。
$$\mathcal{R}_3 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=x\\}$$$A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ を使用すると、次のような解決策が得られます。
$$R_3 = \\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\\}$$
すべての要素 $x \in A,$ には、例外なく要素が 1 つだけ存在します。 $y \in B$ のような $(x, y) \in \mathcal{R}_3.$
バイナリ比 4
二項関係を次のようにします。
$$\mathcal{R}_4 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=(x-1)^2 -1\\}$$$A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ を使用すると、次のような解決策が得られます。
$$R_4 = \\{(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)\\}$$
すべての要素 $x \in A,$ には、例外なく要素が 1 つだけ存在します。 $y \in B$ のような $(x, y) \in \mathcal{R}_4.$
バイナリ比 5
二項関係を次のようにします。
$$\mathcal{R}_5 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=2 \\}$$$A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ を使用すると、次のような解決策が得られます。
$$R_5 = \\{(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)\\}$$
すべての要素 $x \in A,$ には、例外なく要素が 1 つだけ存在します。 $y \in B$ のような $(x, y) \in \mathcal{R}_5.$
特殊性を示す関係 $\mathcal{R}_3, \mathcal{R}_4,\mathcal{R}_5$:
- 「すべての $x \in A$ に対して、$(x, y)$ がリレーションに属するような $y \in B$ が 1 つだけ存在します。」
- $B$ に $A$ というアプリケーション名が与えられるか、$A$ に定義された関数と $B.$ の画像が与えられます。
関数の定義
定義 (関数): 2 つの空でないセット $A$ と $B$ が与えられると、$B$ の $A$ のリレーション $f$ には、$B$ の $A$ というアプリケーション名、または $B$ の画像を持つ $A$ で定義された関数が与えられます。 $x \in A$ $(x, y) \in f.$ となるような $y \in B$ は 1 つだけあります。
関数定義が有効となる条件は以下のとおりです。
-
すべての要素 $x \in A$ が少なくとも 1 つのペアに参加する必要があります $(x, y) \in f,$、つまり $A$ のすべての要素が矢印の開始点として機能する必要があります。
-
各要素 $x \in A$ は 1 つのペアのみに参加する必要があります。 $(x, y) \in f,$、つまり $A$ の各要素は単一の矢印の始点として機能する必要があります。
リレーション f は、条件の 1 つを満たさない場合、アプリケーション (または関数) ではありません。 上記の辞書:
- 矢印が始まらない$A$の要素がある場合。
- 2本以上の矢印が出ている$A$の要素がある場合。
関数表記
すべての関数は $A$ から $B$ の二項関係であるため、すべての関数は順序付きペアのセットです。
通常はオープンセンテンスがあります $y = f(x)$ これは、与えられた場合に適用される法則を表します。 $x \in A$、決まっています $y \in B$ そのような $(x, y) \in f$,
それから
$$f = \\{(x, y) x \in A, y \in B ~~ e ~~ y = f(x)\\}.$$これは、集合 $A$ と $B,$ が与えられた場合、関数 $f$ には対応則 $y = f(x)$ があることを意味します。
$A$で定義された関数$f,$を、対応則$y = f(x)$に従って$B$の画像で表すには、次のいずれかの表記を使用します。
| 表記1 | 表記2 | |
|---|---|---|
| $f: A \rightarrow B\quad$ | または | $ f: A \xrightarrow{f} B$ |
| $x \mapsto f(x)$ | $x \mapsto f(x)$ |
例
-
$f: A \rightarrow B$
$x \mapsto 2x$
$A$ の各 $x$ を $y = 2x$ のように $B$ の $y$ に関連付ける関数です。
-
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto x$
は、$\mathbb{R}$ の $x$ ごとに $\mathbb{R}$ の $y$ を取る関数であり、$y = x$
-
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto x$
は、$y = x.$ のように各 $x \in \mathbb{R}$ を $y \in \mathbb{R}$ と照合する関数です。
$(a, b) \in f$ の場合、前述したように、要素 $b$ はアプリケーションによって a と呼ばれるか、要素 a 内の $f$ と呼ばれ、次のようになります。
$f(a) = b$
「$a$ の $f$ が $b$ に等しい」場合。
例
機能させましょう
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \mapsto 2x + 1$その後
a) アプリケーション $f$ による $0$ のイメージは $1,$ です。つまり、次のようになります。
$f(0) = 2 • 0 + 1 = 1$
b) $-2$ に $f$ を適用した画像は $-3,$ になります。
$f(-2) = 2 • (-2) + 1 = -3$
c) 同様に
$f(\frac{1}{2}) = 2~•~ \frac{1}{2} + 1 = 2$
$f(\sqrt{2}) = 2 • \sqrt{2} + 1$
$f(0,7) = 2 • 0,7 + 1 = 2,4$
練習問題
演習 1
以下の関数の$\mathbb{R}$～$\mathbb{R}$の表記は何でしょうか？
a) f は各実数をその反対の実数に関連付けます
b) g は各実数をその立方体に関連付けます
c) h は、各実数をその 2 乗から 1 を引いた値に関連付けます。
d) k は、各実数を数値 2 に関連付けます。
演習 2
$f$ を $f(x) = x^2 - 3x + 4$ で定義される $\mathbb{R}$ の $\mathbb{R}$ の関数とします。計算します:
a) $ f(2)$
b) $f(-\frac{1}{3})$
c) $f(-\sqrt{3})$
d) $f(1-\sqrt{2})$
演習 3
$f$ を $f(x) = 3x - 2.$ で定義される $\mathbb{Z}$ の $\mathbb{Z}$ の関数とします。 計算します。
a) $f(2)$
b) $f(-3)$
c) $f(0)$