Euler's Eyes
2026-10-11
数学の歴史
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フェルマーの遺産
数論の父
フェルマー以前、整数についての問題は、ディオファントスのパズルのような謎解きと見なされていました。フェルマーはそれを、深い問いと独自の方法をもつ数学の一分野に変えました。1 世紀近く、彼のあとに続く人はほとんどいませんでした。1730 年以降、フェルマーの書き込みを読み、その多くを証明して数論を数学の中心的な分野にしたのはオイラーでした。そのあとにラグランジュ、ルジャンドル、ガウスが続きました。
そのほかの発見
すべてを挙げれば長くなります。いくつかのハイライトを：
- 二つの平方数の和： 奇素数が二つの平方数の和になるのは、それを 4 で割った余りが 1 のときに限る。たとえば $13=4+9$、$29=4+25$ だが、$7$ や $11$ はそうならない。フェルマーが 1640 年に発表し、オイラーが 1749 年に証明した。
- ペル方程式： フェルマーがイギリス人に挑んだ方程式 $x^2-Ny^2=1$ は、$N$ が平方数でなければ、つねに無限に多くの解をもつ。
- 多角数： すべての正の整数は、高々 3 つの三角数の和、4 つの平方数の和、5 つの五角数の和、以下同様に表せる。平方数の場合はラグランジュが 1770 年に、三角数の場合はガウスが 1796 年に証明した。
- 曲線の長さ： フェルマーはいくつかの曲線の弧の長さを計算した。これも微積分への道を開いた問題である。
微積分への道
フェルマーの解析幾何学によって、曲線を方程式で書けるようになりました。彼の極大・極小の方法は、本質的には導関数である計算で接線や極値を求めました。$y=x^n$ の形の曲線の下の面積も計算しました。欠けていたのは、接線と面積が逆の操作だと気づくことだけでした。その一歩を踏み出したのはニュートンとライプニッツです。
物理学では、最短時間の原理が学校で習う反射と屈折を説明し、現代物理学の最適化原理への道を開きました。
まちがった予想からも学べる
フェルマーは、$2^{2^n}+1$ の形の数がすべて素数だと考えたのはまちがいでした。それでもこの問いはオイラーを新しい技法に導き、思いがけずガウスの正十七角形に再び現れました。数学では、答えが予想に反するときでさえ、よい問いには大きな価値があるのです。
そして最終定理は、フェルマーの「驚くべき」証明があったにせよなかったにせよ、数学者たちに、それを解くための理論を丸ごと作り出させました。ワイルズの証明は遠く離れて見えた二つの分野を結びつけ、その道具は今ではもとの問題をはるかに超えて使われています。
まとめ
- フェルマーはトゥールーズの裁判官で、楽しみのために数学をし、生前はほとんど何も出版しなかった。
- 同じ名前の異母兄がいたため、生年は 1601 年とも 1607 年ともされる。
- デカルトとは独立に解析幾何学を創始した。
- 彼のアデカリティの方法は、ニュートンとライプニッツの微積分以前に極大・極小を求めた。
- 小定理は、素数 $p$ が $a$ を割り切らないとき $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ であることを述べる。
- すべての $2^{2^n}+1$ は素数だと予想したが、オイラーが $F_5$ は 641 の倍数であることを示した。
- 1654 年、パスカルとともに分配問題から確率論を創始した。
- 最短時間の原理は屈折の法則を説明する。
- 無限降下法は、ある種の方程式に整数解がないことを証明する。
- 最終定理は 358 年待ち、1995 年にアンドリュー・ワイルズが証明した。
資料： フェルマーの生涯と業績、MacTutor。