中心角は円の中心に頂点があり、その円弧と同じ大きさになります。この考えに基づいて、地球の大きさが測定されました。

発見者

中心角と円弧の関係は、ユークリッドの原論の命題III.26の基礎となっており、等しい円では、等しい中心角は等しい円弧に対応します。最も有名な使用法は、アレクサンドリア図書館の館長であるキレネのエラトステネス (紀元前276年～194年頃) によるもので、中心角から地球の円周を計算しました。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
キレネのエラトステネス、後の芸術的表現。
キレネのエラトステネス、後の芸術的表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

エラトステネスは、夏至の正午に太陽がエジプト南部のシエナの井戸の底を照らしていることを知っていました。同じ頃、アレクサンドリアではノーモンの影によって、 太陽の光が1/50 後方からの角度（7,2°）で到達していることが分かりました。太陽の光線はほぼ平行であるため、この角度は 2 つの都市の間の地球の中心角に等しくなります。シエナ - アレクサンドリアの距離に 50 を掛けるだけです。

目盛り付き円盤の中心から空の角度を測定する器具であるアストロラーベを持つ中世の学者。
目盛り付き円盤の中心から空の角度を測定する器具であるアストロラーベを持つ中世の学者。オイラーの目ブログのコレクション。

250 000 スタジアム付近の結果は実際の値に近いですが、彼が使用したスタジアムがどのくらいの長さであったかは正確には不明です。これは幾何学的な推論に基づいた初めての地球の測定でした。

日常生活での応用

  • 円グラフ。 1801 で ウィリアム プレイフェア によって考案され、合計の各部分を中心角で表します。25% は 90°です。
  • 時計の針。 針の間の角度は中心です。 2h では 60° を測定します。
  • 観覧車。 12 個のキャビンが等間隔に配置されており、各キャビンは軸から測定して次のキャビンから 30 度離れています。
  • 速度計と圧力計 指針が中心を中心に回転し、中心の角度が目盛りの値を示します。

出典: エラトステネス (MacTutor) · 要素、命題 III.26 · ウィリアム プレイフェア (Wikipedia)。

理論と作図

定義中心角と円弧の大きさ

中心角は円の中心を頂点とする角度です。彼が決定した円弧$\overset{\frown}{AB}$は、中心角$A\hat{O}B$ に対応する（または暗示された） 円弧です。

円弧の寸法は、対応する中心角の寸法です。$m(A\hat{O}B) = 60^{\circ}$ の場合は $m(\overset{\frown}{AB}) = 60^{\circ}$、その逆も同様です。簡単にするために、円弧とその測定値に同じ記号 $\overset{\frown}{AB}$ を使用します。