ヤコブ・ベルヌーイは五十年しか生きず、生前に発表したものも多くはありません。ほとんどが『学術紀要』の短い論文です。それでも、今も毎日使われる言葉や記号や考えをこれほど多く残した数学者はまれです。積分、ベルヌーイ試行、二項分布、ベルヌーイ数、大数の法則、確率的（stochastic）。

積分という言葉

ライプニッツは、微分の逆の演算を calculus summatorius、和の計算と呼び、summa（和）の S を引きのばした $\int$ で書きました。1690 年 5 月、等時曲線の問題を解いたヤコブは、二つの式が「等しい積分」をもつと書きました。積分（integral）という言葉が数学の文献に印刷されたのは、これが最初です。ヨハンがこの用語を採用し、1696 年にはライプニッツも自分の「和の計算」をベルヌーイ兄弟の 積分計算 に改めることに同意しました。記号はライプニッツのもの、名前はヤコブのものとして残ったのです。

年 人物 記号または名前 出所
1659 ピエトロ・メンゴリ omnia $x$ Geometriae speciosae elementa
1675 ライプニッツ $\int x$ 1675 年 10 月 29 日の手稿
1690 ヤコブ・ベルヌーイ 「integral」 『学術紀要』
1696 ライプニッツとヨハン・ベルヌーイ calculus integralis 書簡
1822 フーリエ $\int_a^b f(x)\,dx$ 『熱の解析的理論』

つるされた鎖

1690 年の同じ論文で、ヤコブは、両端をつるした鎖がどんな形になるかを問いました。ガリレオは放物線だと考えていました。1691 年、ヨハン、ライプニッツ、ホイヘンスが正しい答え、懸垂線 を発表しました。今日では双曲線余弦を使って $y=a\cosh\frac xa$ と書かれます。ヤコブは弟との競争に負けましたが、問いは彼のものでした。懸垂線 の物語はヨハンのコースにあります。

ド・モアブルと正規曲線

黄金の定理は頻度が確率に近づくことを述べていましたが、必要な観察数についてのヤコブの見積もりは大きすぎました。1733 年、ロンドンに亡命していたフランス人アブラーム・ド・モアブルは、$n$ が大きいときの二項展開の項のよりよい近似を探し、釣鐘形の曲線

$$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$$

を見つけました。これが 正規曲線 の最初の登場で、のちにラプラスとガウスがこれを統計学の中心にすえます。これを使えば、ヤコブの壺に必要なのは、彼が計算した 25 550 回ではなく、およそ 6 500 回です。

勝ちとられた挑戦

ヤコブは $1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots$ の値を知らないまま亡くなりました。三十年後、ヨハンの弟子レオンハルト・オイラーが、この和は $\frac{\pi^2}6$ であることを示しました。のちにオイラーは、さらに驚くべきことを発見します。ヤコブがべき乗の和のために見つけた数が、そこにふたたび現れるのです。偶数乗の逆数の和は、いつも $\pi$ のその乗に、ベルヌーイ数からつくった分数をかけたものになります。たとえば

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6,\qquad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$

ヤコブの二つの問題、級数の問題とべき乗の問題は、根っこでは同じ問題だったのです。

残ったもの

  • 確率。 『推測術』は、賭けの計算を確実さの理論に変えました。二項分布とベルヌーイ試行は、どの統計学の講義にも出てきます。
  • 統計学。 黄金の定理は、世論調査や臨床試験や品質管理がうまくいく理由です。多くの独立な観察が、隠れた確率を明らかにします。
  • 級数。 調和級数の発散と平方数の問いは、オイラーの道を開きました。
  • 解析学。 ベルヌーイ数は、$\tan x$ の級数、オイラー＝マクローリンの公式、リーマンのゼータ関数に現れます。
  • 微積分。 積分という言葉、等時曲線、懸垂線、そして オイラーとラグランジュ の変分法を準備した等周問題。
  • 曲線。 対数螺旋とレムニスケート、そして楕円関数の理論を開いた積分。

覚えておきたいこと

  • ヤコブ・ベルヌーイは 1655 年から 1705 年まで、バーゼルで生きた。従順さから神学を、好きだから数学を学び、ライプニッツの微積分を独学した。
  • 複利は数 $e=\lim\left(1+\frac1n\right)^n\approx2.718$ に行きつく。これは 2 と 3 のあいだにある。
  • 調和級数 $1+\frac12+\frac13+\cdots$ はどんな数をも超える。平方数の逆数の和は 2 より小さい。
  • 対数螺旋 $r=ae^{b\theta}$ は形を変えずに大きくなり、すべての半径と同じ角で交わる。
  • $n$ 回の試行で $k$ 回成功する確率は $\binom nk p^kq^{n-k}$。
  • 観察が多いほど、頻度は確率に近づく。これが大数の法則である。
  • 和 $1^m+2^m+\cdots+n^m$ は $n$ の多項式で、その係数はベルヌーイ数から来る。

出典： ヤコブ・ベルヌーイの伝記、MacTutor · Florian Cajori、A History of Mathematical Notations、第二巻（1929）、§§ 541–544 · Stephen M. Stigler、『統計学の歴史』（Harvard、1986）。

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