発見をチェックしてください

2、3、5、7、11、13、17、19です。 20 までに、これらの 2 つのステップで化合物はすでに除去されています。 1 は入力されません。正の約数のみが含まれます。

この記事では素数についてお話します。これを行うには、自然数または合成数の倍数の概念を使用します。紀元前のギリシャ人はエラトステネスの篩を通して素数理論を研究しました。

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レクタングルズ・ラボラトリー

12 オブジェクトを選択し、1、2、3、4、5、および 6 行を試します。どのような選択肢が残されるのか 同じ番号の行は何ですか？次に、13 を調べます。何が変わるのでしょうか?

オブジェクトと行を変更します。ディバイダーを使用すると、余りのない等しい行を形成できます。
調査をチェックしてください

12 の約数は、1、2、3、4、6、12 です。 13 には正の約数として 1 と 13 のみがあり、素数です。制御は 12 行まで行われます。調査を完了するには、それぞれ 1 つのオブジェクトを含む 13 行を描画します。

自然数の約数の性質

前回の投稿を要約すると、自然数は次のように与えられることがわかりました。

$$\mathbb{N} = \{0,1,2,3, \dots\}$$

自然数の割り算を計算する場合、この結果は正確である可能性があります。このようにして、この自然数の約数を求めます。まず、約数のプロパティを定義します。

定義: 自然数 $n$ の約数の集合は次の式で与えられます。

$$\mathcal{D}(n)$$

自然数の約数

1×12、2×6、3×4の長方形内の 12 点。
12 を割る数字は何ですか?各長方形には 1 対の仕切りが表示されます。

定義が手元にあれば、自然数 $n$ の約数のセットを構築できます。

自然数$(n)$ $\mathcal{D}(n)$ ディバイダー
0 $\mathcal{D}(0)$ $ \\{ 1,2, 3, 4, \dots \\} $
1 $\mathcal{D}(1)$ $ \\{ 1 \\} $
2 $\mathcal{D}(2)$ $ \\{ 1,2 \\} $
3 $\mathcal{D}(3)$ $ \\{ 1,3 \\} $
4 $\mathcal{D}(4)$ $ \\{ 1,2,4 \\} $
5 $\mathcal{D}(5)$ $ \\{ 1,5 \\} $
6 $\mathcal{D}(6)$ $ \\{ 1,2,3,6 \\} $
7 $\mathcal{D}(7)$ $ \\{ 1,7 \\} $
8 $\mathcal{D}(8)$ $ \\{ 1,2,4,8 \\} $
9 $\mathcal{D}(9)$ $ \\{ 1,3,9 \\} $
10 $\mathcal{D}(10)$ $ \\{ 1,2,5,10 \\} $
11 $\mathcal{D}(11)$ $ \\{ 1,11 \\} $

プロパティ

ディバイダーにはいくつかのプロパティがあります。以下にその一部を紹介します。

  1. 数値1と$n$は常に自然数$n$の約数の集合に属します。 n はゼロではないことを覚えておく価値があります。
$$1, ~n \in \mathcal{D}(n) \quad n\neq 0$$

実際、すべての自然数 $n>0$ について、次の式が得られます。

$$n = 1~.~n$$

したがって、1という数は自然数$n$の約数であり、$n$も同様です。

作成したテーブルから、このプロパティが有効であることがわかります。

  1. $n>0$ と $m$ が $n$ の約数に属する場合、つまり $m\in\mathcal{D}(n).$ の場合、$m$ は $n,$ 以下、つまり $m\leq n$ になります。

素数の定義

このようにして、素数を定義できます。

定義: $p$ が素数の場合、素数の約数のセットは具体的には $1$ と $p,$ になります。

$$\mathcal{D}(p) = \\{1,p\\}$$

したがって、上の表の素数は次のようになります。

自然数$(n)$ $\mathcal{D}(n)$ ディバイダー
2 $\mathcal{D}(2)$ $ \\{ 1,2 \\} $
3 $\mathcal{D}(3)$ $ \\{ 1,3 \\} $
5 $\mathcal{D}(5)$ $ \\{ 1,5 \\} $
7 $\mathcal{D}(7)$ $ \\{ 1,7 \\} $
11 $\mathcal{D}(11)$ $ \\{ 1,11 \\} $

ゼロ以外の数 $b$ $(b\neq 0)$ が自然数 $a,$ の約数である場合、 $a=bq.$ となるような自然数 $q$ が存在します。 これを次のように構築します。

$$ \begin{aligned} a & |\underline{}\underline{b}\underline{}\\ 0 & \quad q\\ \end{aligned} $$

ご了承ください：

  • 余り $r$ がゼロの場合、$b$ は $a$ または $a = bq$ の約数になります。
  • 剰余 $r$ がゼロでない場合、$b$ は $a$ または $a = bq + r$ の約数ではありません。

奇数と偶数についての投稿では、次のように記述できることがわかりました。

  • ペア$n = 2 q$
  • 奇数 $n = 2 q + 1$

特に、

  • すべての偶数自然数 $n$ は 2 の倍数です。
  • 唯一の偶数素数は 2 です。

これにより、素数から倍数が構築されます。

$$n = p q$$

どの中で

  • $p$は素数です。
  • $n$ は任意の自然数です。
  • $q$ は素数 $p$ の倍数です。

合成数

36 の素因数ツリー。
枝をたどって素数まで進みます。 36 が複合であるのはなぜですか?

したがって、合成数を定義できます。

定義: $p$ が素数であり、数値 $a$ は素数の倍数で構成できる場合。したがって、この数字は合成されます。

素数$(p)$ 合成数$(a=pq)$ 合成数のセット $(n)$
2 $a = 2 q$ $ \\{ 2, 4, 6, 8, \dots \\} $
3 $a = 3 q$ $ \\{ 3, 6, 9, 12, \dots \\} $
5 $a = 5 q$ $ \\{ 5, 10, 15, 20, \dots \\} $
7 $a = 7 q$ $ \\{ 5, 10, 15, 20, \dots \\} $
11 $a = 11 q$ $ \\{ 11, 22, 33, 44, \dots \\} $

エラトステネスのふるい

素数が強調表示された 1 から 30 までの数値の表。
いとこたちを見つけてください。 1 は素数でも合成でもないことに注意してください。
C R I V O
$2$ $3$ $4$ $5$
$6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$11$ $12$ $13$ $14$ $15$
$16$ $17$ $18$ $19$ $20$
$21$ $22$ $23$ $24$ $25$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 1 より大きく、それより小さい数は約数には存在しないため、最初の素数は 2 です。それでは、2 の倍数を調べてみましょう。
C R I V O
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel 6$ $7$ $\cancel 8$ $9$ $\cancel{10}$
$11$ $\cancel{12}$ $13$ $\cancel{14}$ $15$
$\cancel{16}$ $17$ $\cancel 18$ $19$ $\cancel 20$
$21$ $\cancel{ 22}$ $23$ $\cancel{ 24}$ $25$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 1 より大きく、それより小さい数は約数には存在しないため、2 番目の素数は 3 です。それでは、3 の倍数を調べてみましょう。
C R I V O
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel{\cancel{ 6}}$ $7$ $\cancel 8$ $\cancel{9}$ $\cancel{10}$
$11$ $\cancel{\cancel 12}$ $13$ $\cancel{14}$ $\cancel{\cancel 15}$
$\cancel{16}$ $17$ $\cancel{\cancel 18}$ $19$ $\cancel 20$
$\cancel{21}$ $\cancel{ 22}$ $23$ $\cancel{\cancel 24}$ $25$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 1 より大きく、それより小さい数は約数には存在しないため、3 番目の素数は 5 です。それでは、5 の倍数を調べてみましょう。
C R I V O
$2$ $3$ $\cancel{4}$ $5$
$\cancel{\cancel{ 6}}$ $7$ $\cancel{ 8}$ $\cancel{9}$ $\cancel{\cancel 10}$
$11$ $\cancel{\cancel 12}$ $13$ $\cancel{14}$ $\cancel{\cancel 1 \cancel 5}$
$\cancel{16}$ $17$ $\cancel{\cancel 18}$ $19$ $\cancel{\cancel 20}$
$\cancel{21}$ $\cancel{ 22}$ $23$ $\cancel{\cancel 24}$ $\cancel{25}$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
  1. 1 より大きく、それより小さい数は約数には存在しないため、4 番目の素数は 7 です。 7 ふるいは演習として残ります。

したがって、結果は素数になります。このようにしてテーブルを取得します。

C R I V O
$2$ $3$ $5$
$7$
$11$ $13$
$17$ $19$
$23$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$

これらは素数理論に関するいくつかのポイントです。純粋数学の本（大学生向け）ではさらに詳しくお話します。

エラトステネスのふるい: 各いとこの倍数を取り消します。残りの数字は素数です。