Euler's Eyes
2026-10-14
最速降下線：1696 年の挑戦
鉛直な平面上に二点 A と B が与えられたとき、動く物体 M が自分の重さだけで降りて、A から B へ最も短い時間で移る曲線 AMB を求めよ。
— ヨハン・ベルヌーイ『学術紀要』（1696 年 6 月）
1696 年 6 月、ヨハン・ベルヌーイは『学術紀要』で「全世界の最も鋭敏な数学者たち」に挑戦しました。問いは遊園地の話のようです。二点のあいだでいちばん速いすべり台はどんな形か。問題の名はギリシャ語から来ています。brachistos は最も短い、chronos は時間。最速降下線、最短時間の曲線です。
ヨハンは六か月の期限を与え、自分はもう答えをもっていると告げました。だれにでも向けた挑戦でしたが、ねらいは二人でした。公然と戦争中だった兄ヤコブと、ライプニッツの友人たちが微積分を盗んだと非難していたアイザック・ニュートンです。
答えは直線ではない
直線は 最も短い 道ですが、最も速い 道ではありません。摩擦なしにすべる球は、落ちるにつれて速くなります。だから、道が長くなっても、最初に急に降りて早めに速さを得るほうが得なのです。一方で、極端に急降下すると道がのびすぎます。最善の道はその折り合いで、それを見つけることは、無数にありうる曲線のなかから曲線をまるごとひとつ見つけることです。
$x$ を水平、$y$ を 下向き にとり、出発点を $A=(0,0)$ とします。エネルギー保存から、高さ $y$ だけ落ちたあとの速さは
$$\frac12mv^2=mgy\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2gy}.$$速さは高さだけで決まり、道すじにはよりません。
ヨハンの考え：球は光線だ
ヨハンはすばらしいことを思いつきました。フェルマーは、光がある媒質から別の媒質に移るとき 最短時間の道 をとること、そしてそこからスネルの屈折の法則が出てくることを示していました。
$$\frac{\sin\alpha_1}{v_1}=\frac{\sin\alpha_2}{v_2}.$$ここで $\alpha$ は光線が鉛直となす角、$v$ はそれぞれの媒質での光の速さです。光もまた、できるだけ速く着きたいのです！
そこでヨハンは、$A$ と $B$ のあいだの空間を、ガラス板のようなごく薄い水平の層に切り分けることを考えました。各層には下に行くほど大きくなる速さ $v=\sqrt{2gy}$ があります。層を通りぬける光線は、層ごとに折れ曲がります。層を無限に薄くすると光線はなめらかな曲線になり、スネルの法則がどの点でも成り立ちます。
$$\frac{\sin\alpha}{v}=\text{一定}.$$これが曲線の方程式です。$\alpha$ は接線が鉛直となす角なので $\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}$。$v=\sqrt{2gy}$ を代入して二乗すると、
$$\boxed{\ y\left(1+y'^2\right)=2a\ }$$となります。$a>0$ は定数です。
答え：サイクロイド
ヨハンはこの方程式に見覚えがありました。サイクロイド、つまり直線の上を転がる車輪のふちの一点が描く曲線を、ここでは上下逆さにしたものです。半径 $a$ の車輪が角 $\theta$ だけ回ったとき、
$$x=a(\theta-\sin\theta),\qquad y=a(1-\cos\theta).$$確かめましょう。導関数を割ると $y'=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\dfrac\theta2$ で、$1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac\theta2$ なので、
$$y(1+y'^2)=2a\sin^2\frac\theta2\cdot\frac1{\sin^2(\theta/2)}=2a.$$合っています。いちばん速いすべり台はサイクロイドの弧で、鉛直に落ちはじめ、終わりはゆるやかになります。
どれだけ得するか
サイクロイドの最低点で、$\theta=\pi$ にあたる $B=(\pi a,2a)$ を選びます。サイクロイド上では、長さの要素と速さは
$$ds=2a\sin\frac\theta2\,d\theta,\qquad v=\sqrt{2g\cdot2a\sin^2\frac\theta2}=2\sqrt{ga}\sin\frac\theta2.$$各部分の時間は $dt=\dfrac{ds}v=\sqrt{\dfrac ag}\,d\theta$ です。正弦が消えました！$\theta=0$ から $\theta=\pi$ まで、
$$T_{\text{サイクロイド}}=\pi\sqrt{\frac ag}.$$$A$ から $B$ への直線では、長さは $\ell=a\sqrt{\pi^2+4}$、斜面に沿った加速度は一定で $g\cdot\frac{2a}\ell$ です。公式 $\ell=\frac12\cdot\text{加速度}\cdot T^2$ から、
$$T_{\text{直線}}=\sqrt{\pi^2+4}\,\sqrt{\frac ag}.$$$\pi\approx3.14$、$\sqrt{\pi^2+4}\approx3.72$ なので、サイクロイドは 約 16% 速い のです。$a=1$ m、つまり幅 3.14 m、高さ 2 m のすべり台なら、球はサイクロイドで $1.00$ 秒、直線で $1.19$ 秒かかります。
獅子の爪
期限が来たとき、解を送ってきたのはライプニッツだけでした。彼の頼みで、ヨハンは期限を 1697 年の復活祭までのばし、印刷した問題を何人かの数学者に直接送りました。そのなかにはロンドンのニュートンもいました。
ニュートンは 54 歳で、造幣局に勤めていました。姪のキャサリン・コンデュイットによると、1697 年 1 月 29 日の午後四時、仕事から疲れて帰ったところで手紙を受けとり、問題を解くまで寝ずにいて、朝の四時に解きあげました。彼は署名も証明もつけずに解を王立協会に送り、協会はそれを匿名で発表しました。
1697 年 5 月、『学術紀要』は五つの解を掲載しました。ヨハン、ヤコブ、ライプニッツ、ロピタル、チルンハウスのもので、さらにイギリスからの匿名の答えも転載しました。ヨハンは作者がだれかを疑いませんでした。彼は、tanquam ex ungue leonem、「爪で獅子を見分けるように」 それとわかったと書きました。
けれども、いちばん重要な解はヤコブのものでした。弟の解より手間がかかり、光とのたとえを使わず、曲線を近くの曲線とくらべるものでした。この考えが一般化されて、オイラーとラグランジュの 変分法 が生まれたのです。
練習問題：すべり台の寸法をすべて四倍にすると、時間はどうなるか？
どちらの公式でも時間は $\sqrt a$ に比例します。$a$ を 4 倍すると時間は $\sqrt4=2$ 倍になります。サイクロイドの有利さは約 16% のまま変わりません。比 $\frac{\pi}{\sqrt{\pi^2+4}}\approx0.844$ は大きさによらないのです。
練習問題：サイクロイド上で、時間が半分たったとき球はどこにいるか？
$dt=\sqrt{a/g}\,d\theta$ なので、時間は $\theta$ に比例します。時間が半分のとき $\theta=\frac\pi2$ で、点は $x=a\left(\frac\pi2-1\right)\approx0.57a$、$y=a$ です。球はすでに全体の高さ $2a$ の 半分 を降りていますが、水平距離 $\pi a$ のうち 18% しか進んでいません。これがサイクロイドの作戦です。まず落ちて、それから進む。
出典： Johann Bernoulli、“Curvatura radii in diaphanis non uniformibus”、Acta Eruditorum（1697 年 5 月）· Herman H. Goldstine、A History of the Calculus of Variations（Springer、1980）第 1 章 · Richard S. Westfall、『アイザック・ニュートン』。