Euler's Eyes
2026-10-11
長方形、ひし形、正方形
対角線は四角形について多くのことを物語ります。長方形では、それらは等しいです。ひし形では垂直。広場で、両方とも。
発見者
正方形の対角線上にある最も有名な文書は、現在イェール大学にある紀元前 1800 ～ 1600 頃のバビロニアの粘土板YBC 7289 です。対角線のある正方形と、誤差が 100 万分の 1 未満である $\sqrt{2}$ の値が表示されます。長方形とひし形の対角線の性質はユークリッドの原論の平行四辺形の定理に従います。
歴史
タブレットに書かれた数字は60を基底として1;24,51,10、つまり$1 + \tfrac{24}{60} + \tfrac{51}{60^2} + \tfrac{10}{60^3} \approx 1{,}414213$となります。律法学者がそれをどのように計算したかは誰も正確には知りません。仮説の 1 つは、今日ではヘロン と呼ばれる逐次近似法を使用したということです。
後にギリシャ人は、正方形の対角線と辺には共通の尺度がないことを発見しました。これは、$\sqrt{2}$ が分数ではないことを示す最初の既知の証拠です。ピタゴラス学派によるこの発見は、数と長さについての私たちの考え方を変えました。
日常生活での応用
- 正方形を確認します。 レンガ職人や大工は、形、ドア、絵画の 2 つの対角線を測定します。それらが同じであれば、平行四辺形は長方形になります。
- フェンスと手すり。 金網はダイヤモンドを形成します。対角線を垂直にすると、キャンバスが破れることなく伸びることができます。
- 凧。 凧の交差した棒は対角線が直角です。
- A4 用紙 辺の比率は正方形の対角線と同じ$\sqrt{2}$で、半分に折っても形状が保たれます。
出典: YBC 7289 および 2 のルート (MacTutor) · 要素、命題 I.34。
理論と作図
平行四辺形の特性に加えて、それぞれに特有の特性があります。
定理長方形: 合同な対角線
a) どの長方形でも対角線は合同です。
b) 逆数: 合同な対角線を持つすべての平行四辺形は長方形です。
定理ひし形: 垂直な対角線
a) すべてのひし形には垂直な対角線があります。
b) 逆数: 垂直な対角線を持つすべての平行四辺形はひし形です。
デモを見る
長方形。 長方形 (平行四辺形) では、$BC = AD$; $\hat{A} \equiv \hat{B}$ と $\overline{AB}$ は共通で、LAL では $\triangle ABC \equiv \triangle BAD$ と $AC = BD$ が使用されます。逆に、LLL は $\triangle ABC \equiv \triangle BAD$ を与えるため、$\hat{A} \equiv \hat{B}$ になります。しかし、$\hat{A}$ と $\hat{B}$ は担保 (補足) であるため、どちらもストレートであり、反対です。
ひし形 ひし形 (平行四辺形) では、対角線は $M$ で互いに二等分されます。 LLL により、4 つの三角形 $AMB$、$AMD$、$CMB$、$CMD$ は合同であり、$M$ の角度は合同で補足的です。右。逆数では、LAL は 4 つの合同な三角形と $AB = AD = BC = CD$ を与えます。
正方形。 すべての正方形は長方形であり、ひし形でもあります。したがって、平行四辺形の性質に加えて、 次のような合同で垂直な対角線を持ちます。
$$ABCD \text{ é quadrado} \iff ABCD \text{ é paralelogramo},\ AC = BD,\ AC \perp BD.$$まとめ対角線で認識する
凸四角形の対角線が次の場合:
| 半分に切る | 一致する | 垂直 | それはそうです |
|---|---|---|---|
| はい | — | — | 平行四辺形 |
| はい | はい | — | 矩形 |
| はい | — | はい | ダイヤモンド |
| はい | はい | はい | 四角 |
