Euler's Eyes
2026-10-11
シュヴァリエ・ド・メレのサイコロと公平な分配
シュヴァリエ・ド・メレと名乗っていたアントワーヌ・ゴンボーは、フランス宮廷の文筆家で、熱心な賭博師でもありました。1654 年ごろ、彼はパスカルに賭けについての問いを二つ持ち込みました。パスカルはその問いがとても良いと思い、ピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。確率論はその手紙のやりとりから生まれたのです。
この友人について、パスカルはフェルマーにこう書いています。
彼はとても頭がよいのですが、幾何学者ではありません。それは、ご存じのとおり、大きな欠点です。
— ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日）
第一の問題：6 の目と 6 のぞろ目
ド・メレは得をする賭け方を知っていました。サイコロを一つ 4 回振り、少なくとも一回 6 が出るほうに賭けるのです。彼は負けるより勝つほうが多かったのです。
そこで彼はこう考えました。サイコロ二つで 6 のぞろ目が出るのは、サイコロ一つで 6 が出るより 6 倍まれだ。それなら 6 倍多く振れば埋め合わせられる。$4\cdot6=24$ 回です。「サイコロ二つを 24 回振って、少なくとも一回 6 のぞろ目が出る」という賭けは、最初の賭けと同じくらい有利なはずだ、と。
そうはなりませんでした。ド・メレはお金を失い、その理由がわかりませんでした。
正しい計算は、反対の出来事から考えます。サイコロ一つで 6 が出ない確率は $\frac56$ です。独立に 4 回振って一度も 6 が出ない確率は $\left(\frac56\right)^4$ です。したがって
$$P(\text{4 回で少なくとも一回 6})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$サイコロ二つの出方は $36$ 通りで、6 のぞろ目はそのうち一つだけです。一回振って 6 のぞろ目が出ない確率は $\frac{35}{36}$ です。
$$P(\text{24 回で少なくとも一回 6 のぞろ目})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$最初の賭けは 51.8% の割合で勝ち、二つ目は 49.1% しか勝てません。ド・メレの比例の規則はもっともらしく見えましたが、確率はそのようには足し算できないのです。25 回振れば、確率はようやく半分を超えます。$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$ です。
第二の問題：中断された勝負
二人の競技者がそれぞれ 32 ピストル、合わせて 64 ピストルを賭けます。先に 3 回勝ったほうが全部をもらいます。A が 2 勝、B が 1 勝したところで勝負が中断されました。64 ピストルをどう分ければ公平でしょうか。
フェルマーは起こりうるすべての並びを数えて解きました。パスカルのやり方は違いました。彼は次の一回だけを見たのです。
- A が次の回に勝てば、3 勝に達して 64 ピストル全部をもらう。
- B が勝てば 2 対 2 になり、二人は互角になる。それぞれ 32 ピストルずつもらうのが当然だ。
次の一回で二人が勝つ確率は同じです。ですから A は、何が起ころうと 32 ピストルは確実で、残りの 32 ピストルは不確かで、それぞれに半々の見込みがあります。パスカルは A が受けとるべき額を
$$32+\frac{32}{2}=48\ \text{ピストル},$$とし、B は残りの 16 ピストルとしました。これがまさに彼の手紙にある数です。
後ろから順に
この考え方はどんな得点にも使えます。簡単な場合を解いてから、一歩ずつさかのぼるのです。今度は A が 2 勝、B が 0 勝だとします。A が次に勝てば 64 ピストルをもらい、負ければ 2 対 1 になります。これは A にとって 48 ピストルの価値だとわかっています。平均は
$$\frac{64+48}{2}=56.$$では A が 1 勝、B が 0 勝なら？ A が勝てば 2 対 0 になり、その価値は 56 ピストル。負ければ 1 対 1 で 32 ピストル。平均は
$$\frac{56+32}{2}=44.$$パスカルがフェルマーに送ったのは、まさにこの 48、56、44 ピストルという数の並びでした。
一般の規則
A があと $a$ 回、B があと $b$ 回勝つ必要があるときに A が勝負に勝つ確率を $P(a,b)$ とします。$a=0$ なら A はすでに勝っているので $P(0,b)=1$、$b=0$ なら B がすでに勝っているので $P(a,0)=0$ です。それ以外の場合は、次の一回から
$$P(a,b)=\frac12P(a-1,b)+\frac12P(a,b-1).$$が得られます。A の公平な取り分は、賞金に $P(a,b)$ をかけたものです。3 勝で決着する勝負で 2 対 1 の例では、A はあと $a=1$ 回、B はあと $b=2$ 回で、$P(1,2)=\frac34$ です。64 の $\frac34$ で 48 ピストルになります。
この規則が算術三角形と同じ形をしていることに注目してください。どの値も二つの隣の値の平均です。これは偶然ではなく、パスカルはこの三角形を使って、どんな得点の場合でも一度に問題を解きました。
新しい数学
1654 年より前、偶然は賭博師の扱うもので、数学者の扱うものではありませんでした。パスカルの手紙は、今日期待値と呼ばれる考えを導入しています。各競技者が受けとるべきものは、賞金にそれを得る確率をかけたものだ、というのです。1657 年、パリでこの書簡のことを聞いたオランダのクリスティアーン・ホイヘンスが、この分野で最初の本を出版しました。保険会社や宝くじ、銀行がこの計算をするようになり、今もそれを続けています。
練習：64 ピストルを賭けた 3 勝先取の勝負で、得点が 1 対 1 のときは？ 0 対 0 なら？
1 対 1 では二人は同じ立場なので、32 ピストルずつです。0 対 0 でも同じで、どちらにも有利な点はなく、それぞれ自分の 32 ピストルを取り戻します。
練習：P(2,1) はいくつですか？
$P(2,1)=\frac12P(1,1)+\frac12P(2,0)=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot0=\frac14$ です。賞金が金貨 80 枚なら、A が 20 枚、B が 60 枚を受けとります。
出典： パスカルとフェルマーの 1654 年の書簡、英訳 · パスカルの伝記、MacTutor。