13 章の演習 — 三角形と点の累乗の相似

図中の三角形$ABC$と$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$は相似です。 1 番目と 2 番目の類似率が $\dfrac{3}{2}$ である場合、次のように決定します。 a) $a$、$b$、および $c$。 b) それらの周囲間の比率。

三角形 $ABC$ と $PQR$ は相似です。 $x$と$y$を求めます。

$\triangle KLM$が$\triangle FGH$と類似している場合は、$x$を決定します。

三角形 $ABC$ の 3 辺の長さは 8 cm、18 cm、16 cm です。 1 番目と 2 番目の類似比が 3 に等しいことがわかっているので、$ABC$ に類似した三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ の辺を決定します。

$\overline{DE}$ が $\overline{BC}$ と平行である場合、次の場合に $x$ を決定します (b では $x = AD$)。

$\triangle ABC$ から、$AB = 20$ m、$BC = 30$ m、および $AC = 25$ m がわかります。 $\overline{AB}$に$D$、$\overline{AC}$に$E$、$\overline{DE}$が$\overline{BC}$と$DE = 18$mに平行である場合、$x = DB$と$y = EC$を求めます。

2 つの三角形間の相似比が $k$ の場合、それらの周囲の長さの比も $k$ であることを示します。

2 つの三角形 $ABC$ と $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ は相似です。辺 $\overline{AB}$ の寸法が 20 cm であり、その対応する辺 $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ の寸法が 40 cm であることがわかっているので、三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ の周囲長が 200 cm であることがわかっているので、三角形 $ABC$ の周囲長を決定します。

三角形の周囲の長さは 60 m で、辺の 1 つは 25 m です。指定された辺の反対側の辺が 15 m である相似な三角形の周囲の長さはいくらですか?

三角形の辺の長さは 8,4 cm、15,6 cm、および 18 cm です。この三角形は、周囲の長さが 35 cm である三角形に似ています。 2 番目の三角形の最長の辺を計算します。

三角形 $ABC$ では、辺の長さは $AB = 4$ cm、$BC = 5$ cm、および $AC = 6$ cm になります。周囲の長さが 20 cm である $ABC$ に似た三角形の辺を計算します。

辺の寸法が 12 m、18 m、および 20 m である三角形は、周囲の寸法が 30 m である三角形と類似しています。最小の三角形の最小の辺の長さを計算します。

図では$AB = 2 \cdot BC$と$BE = 14$です。 $\overline{BE} \parallel \overline{CD}$ を知って $CD$ を計算します。

台形の底辺は 12 m と 18 m であり、底辺に対して斜めの辺は 5 m と 7 m です。辺を底辺に対して斜めに延長することによって得られる最小の三角形の辺を決定します。

「等号」が付いた角度が合同の場合、次の場合の未知数を決定します。

$\alpha = \beta$の場合、次の場合の$x$と$y$を決定します。

以下の場合の$x$と$y$を求めます。

$r$と$s$は平行線なので、次の場合は$x$を求めます。

$\overline{AB} \parallel \overline{ED}$、$DE = 4$cm、$CD = 2$cm、$BC = 6$cmの場合は、$\overline{AB}$の寸法を計算します。

図中、$\overline{AB}$は$\overline{DE}$と平行です。 a) 三角形 $ABC$ と $EDC$ が相似であることを証明します。 b) $AB = 5$、$AC = 6$、$BC = 7$、$DE = 10$として、$CD$を計算します。

下図において、$x$の値を決定します。

下の図は平行四辺形であるとして、$x$の値を計算します。

図では$AB = 8$cm、$BC = 3$cm、$AE = 5$cmとなります。 $A\hat{C}E \equiv A\hat{D}B$ を知って $x = DE$ を計算します。

図中、$x$を求めます。

この数値から$x$の値を求めます。

図の中で、辺が$a$と$b$($a > b$)の正方形を考えます。 $x$の値を計算します。

図の中で、辺が$x$、6、9の正方形を考えてみましょう。辺が$x$の正方形の周囲長を求めます。

下図の正方形の一辺の長さを求めます。

台形の斜辺を底辺まで延長すると、点$E$と三角形$ECD$、$EAB$が得られます。台形の底辺の寸法を 12 cm と 4 cm として、台形の底辺である辺に対する 2 つの三角形の高さの関係を求めます。

台形$ABCD$の底辺は50cmと30cm、高さは10cmです。平行でない辺を延長すると、点 $E$ で交差します。三角形$ABE$の高さ$\overline{EF}$と三角形$CDE$の高さ$\overline{EG}$を求めます。

高さ20cm、底辺$\dfrac{50}{3}$cmの二等辺三角形には、三角形の底辺に高さ8cmの長方形が内接します。長方形の底辺の寸法を計算します。

$x$と$y$を求めます。

図では、$AB = 8$、$BC = 15$、$AC = 17$、$EC = 4$があります。 $x = DE$と$y = CD$を求めます。

図では、正方形$DEFG$が三角形$ABC$に内接しています。 $BD = 8$cmと$CE = 2$cmで正方形の周囲長を計算します。

長方形 $ABCD$ では、辺 $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ の寸法は 20 cm と 12 cm です。 $M$ を辺 $\overline{AB}$ の中点として、点 $E$ から辺 $\overline{AB}$ までの距離 $EF$ を計算します。対角線 $\overline{BD}$ と線分 $\overline{CM}$ の交点を $E$ とします。

図の場合、$x$を求めます。

一辺が$BC = 10$cmの三角形$ABC$を考えてみましょう。 $\overline{CD}$ を三角形の内線分とし、$D$ を $\overline{AB}$ 側に置きます。 $BD = 4$ cm と角度 $B\hat{A}C$ と $B\hat{C}D$ が合同であることがわかっているので、$\overline{AD}$ の寸法を決定します。

直線の点$A$と$B$を通り、直線に垂線を引きます。それらの上で、セグメント $AC = 13$ cm と $BD = 7$ cm を取得します。線分$AB = 25$cmにおいて、角$A\hat{P}C$と$B\hat{P}D$が一致する点$P$をとります。 $\overline{AP}$の寸法を計算します。

三角形$ABC$に外接する円を考えます。この円の直径を$\overline{AE}$、三角形の高さを$\overline{AD}$とします。 $AB = 6$cm、$AC = 10$cm、$AE = 30$cmなので、高さは$\overline{AD}$と計算されます。

図中の三角形$ABC$に外接する円の半径$R$を計算し、$AB = 4$、$AC = 6$、$AH = 3$とします。

半径 $R$ と $r$ の 2 つの円は、点 $A$ で外側に接しています。 $C$と$D$は2つの円の外側の直線$t$の接点であるため、辺$\overline{CD}$に対する三角形$ACD$の高さを求めます。

点$O$はひし形$ABCD$の対角線$\overline{AC}$と$\overline{BD}$の交点です。辺$\overline{AD}$を点$F$まで延長すると、$DF = 4$mとなります。 $E$と$ED = 2$mで$\overline{OF}$が$\overline{CD}$を満たす場合、ダイヤモンドの面を決定します。

三角形 $ABC$ から、角度 $\hat{A}$ は角度 $\hat{C}$、$AB = 6$ m、および $AC = 10$ m の 2 倍であることがわかります。 $BC$を決定します。

図では、光線 $\overrightarrow{PA}$ と $\overrightarrow{PB}$ は円の接線です。 $Q$から接線までの距離が4と9の場合、$Q$から弦$\overline{AB}$までの距離を求めます。

線分 $t$ と $f$ は $A$ の円の接線です。 $a = BC$と$b = BD$から$AB$を求めます。

図中、$\overline{RQ}$は$\overline{PQ}$に直交し、$\overline{PQ}$は$\overline{PT}$に直交し、$\overline{TS}$は$\overline{PR}$に直交します。 $TS \cdot RQ = PS \cdot PQ$ を証明してください。

それぞれの場合において、未知のものを特定します。

下図の$x$の値を求めます。

次の場合に $x$ を決定します。

図では、文字列 $\overline{BD}$ と $\overline{CE}$ の寸法を計算し、$AB = 3x$、$AC = 4x - 1$、$AD = x + 1$、$AE = x$ とします。

下図の$x$の値を求めます。

次の場合の円の半径を決定します。

図では$ED : EC = 2 : 3$、$AE = 6$、$EB = 16$となっているので、$\overline{CD}$の長さを計算します。

$\overline{AB}$ が円の直径、$B$ が円に対する線分 $\overline{BC}$ の接点、$\overline{DE}$ が $\overline{BC}$ に平行であることがわかって、線分 $\overline{DE}$ の寸法を決定します。

中心 $O$、半径 $r$ の円に対する点 $P$ のパワーを、$O$ と $P$ の間の距離 $d$ と半径 $r$ の関数として計算します。

本の図で$\text{pot}\,A + \text{pot}\,B + \text{pot}\,C$（円周に対する累乗$\lambda$）を計算します。

円から 18 cm 離れた点 $P$ を介して、円上の 10 cm の長さの弦 $\overline{AB}$ を決定する割線が引かれます。 $\overline{AB}$ は円の中心を通過するので、点 $P$ から引いたこの円の接線の長さを計算します。

図の大きい円の四分円に内接する小さい円の半径を求めます。$2R$ は大きい円の直径です。

2 つの弦 $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ は円内の点 $P$ で交差します。セグメント $\overline{CP}$、$\overline{DP}$、および弦 $\overline{AB}$ の測定値がそれぞれ 1 cm、6 cm、および 5 cm であることがわかっているので、セグメント $\overline{BP}$ の測定値を決定します。

円の中で 2 本のロープが互いに切断します。最初の文字列の 2 つのセグメントの積は $25\ \text{cm}^2$ です。 2 番目の文字列では、最小セグメントは最大セグメントの $\dfrac{1}{4}$ に相当することがわかっています。この 2 番目の文字列の最長セグメントの長さを決定します。

$\overline{AB}$ と $\overline{AC}$ は、円に属する等しい寸法の 2 つの文字列です。弦 $\overline{AD}$ は点 $P$ で弦 $\overline{BC}$ と交差します。三角形 $ABD$ と $APB$ が相似であることを証明します。