Euler's Eyes
2026-10-11
三角形の不等式
どの三角形でも、各辺は他の 2 つの辺の合計より小さくなります。古代人はすでに「ロバでもそれを知っている」と冗談を言いました。
発見者
三角不等式はユークリッドの原論の命題I.20です（紀元前300頃）。最大辺と最大角の関係は命題I.18とI.19にあります。セグメントが 2 点間の最短経路であるという考えは、ずっと前から直感的でした。ユークリデスのメリットは、 過去の結果に基づいてそれを実証したことです。
歴史
プロクロス (西暦 5 世紀) は、エピクロス人は三角不等式を証明したユークリッドを嘲笑したと述べています。ロバですら、干し草に向かうまっすぐな道のほうが、周囲を回るよりも短いことを知っている、と彼らは言いました。プロクロス氏は、事実を認識することと、それがなぜ真実であるかを知ることは同じではないと答えた。このデモンストレーションは、結果が平面の特性に依存するため、地球の表面などの他の幾何学形状では有効ではなくなる可能性があることを示しています。
20 世紀には、三角不等式は数学における「距離」を定義する 3 つの規則の 1 つになりました。それは三角形どころか、分析、統計、コンピューティングにも現れます。
日常生活での応用
- 草の中の近道。 広場や庭園を通って形成される小道は、実際には対角線が両側よりも短いことを人々が知っていることを示しています。
- 3 本の棒は三角形を形成しますか? 最大の棒が他の 2 本の合計より小さい場合に限ります。 2 cm、3 cm、6 cm のロッドが閉じません。
- 配送ルート。 物流アルゴリズムは三角不等式を使用して、決して短くなり得ない逸脱を排除します。
- 屋根。 ハサミの場合、最も大きな角度の反対側が最も長いビームです。まさに命題 I.18 と I.19 が示しているとおりです。
出典: 要素、命題 I.20 · 要素、命題 I.18 · Proclus (MacTutor)。
理論と作図
定理最大の角度は最大の辺の反対側にあります
三角形の 2 つの辺が合同ではない場合、それらの向かい側の角度も合同ではなく、最大の角度は最大の辺の反対側になります: $BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。
逆数: 最大の角度は最大の辺と対向します: $\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。
デモを見る
直接 $\overline{CD} \equiv \overline{CA}$ で $D$ を $\overline{BC}$ に取り込みます。 $BC > AC$ と同様、$D$ は角度 $C\hat{A}B$ の内側にあるため、$C\hat{A}B > C\hat{A}D$ になります。 $\triangle CAD$ は底が $\overline{AD}$: $C\hat{A}D \equiv C\hat{D}A$ の二等辺です。そして、$C\hat{D}A$は$\triangle ABD$の外角なので$C\hat{D}A > A\hat{B}D$となります。結合: $C\hat{A}B > C\hat{D}A > A\hat{B}C$、つまり $\hat{A} > \hat{B}$。
逆数。 それが $BC < AC$ であれば、直接定理により $\hat{A} < \hat{B}$ になります。 $BC \equiv AC$ なら 二等辺三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B}$ で。どちらも仮説に矛盾するため、$BC > AC$。
定理三角不等式
すべての三角形の各辺は、他の 2 つの辺の合計よりも小さくなります: $a < b + c$。
同等に、各辺は他の 2 つの辺の差よりも大きくなります。 $a < b + c$、$b < a + c$、$c < a + b$ の 3 つの条件を次のようにまとめます。
$$|b - c| < a < b + c.$$デモを見る
$\overrightarrow{AC}$ と $\overline{AD} \equiv \overline{AB}$ の反対側の光線で $D$ を撮ります。次に$DC = AC + AB$(2)。 $\triangle ABD$ は底が $\overline{BD}$: $A\hat{D}B \equiv A\hat{B}D$ の二等辺です。 $A$ は角 $C\hat{B}D$ の内側であるため、$C\hat{B}D > A\hat{B}D \equiv C\hat{D}B$ が得られます。 $\triangle BCD$ では、最大の角度と最大の辺が対向します: $BC < DC$。 (2)、$BC < AC + AB$と。