土地は何平方メートルありますか、壁にはどのくらいのペンキがかかりますか、旗にはどのくらいの布地がかかりますか?これらの質問はすべて面積 に関するものであり、ほぼすべての公式は 1 つ、つまり長方形から得られます。

発見者

記録が残っている最初の面積計算はエジプトとメソポタミアの書記たちによるもので、リンドのパピルス（紀元前1650年頃）では長方形、三角形、さらには円形のフィールドの面積が計算されており、バビロニアの石板には台形の面積が示されています。ギリシャ人はこれらの規則に正当性を与えました。原論 では、ユークリッド (c. 300 BC) は、同じ底辺と同じ高さの平行四辺形は同じ面積を持つこと (命題 I.35) と、三角形が平行四辺形の半分であること (I.41) を証明しました。円の公式はアルキメデス (紀元前 3 世紀) によって実証されました。

歴史

ギリシャのアイデアは、 数字を使わずに切り貼りで図形を比較するというもので、一方を分解してもう一方に組み立てることができれば、2 つの図形の面積は同じになります。以下の図と同じ方法です。

エジプト人は円の場合、「直径から $\tfrac{1}{9}$ を取り出し、それを二乗する」というルールを使用しました。これは $\pi \approx 3{,}16$ を使用するのと同じです。アルキメデスは、円の面積が、底辺が円周に等しく、高さが半径に等しい三角形の面積に等しいことを示しました。つまり、$\pi r^2$です。

日常生活での応用

  • 物件。 アパートの価格は平方メートルあたりに表示されます。平面図には各部屋の面積が示されています。
  • 塗料と床。 塗料とセラミックの量は壁と床の面積によって異なります。
  • 農業。 生産量と種子はヘクタール (10 000 m²) ごとに計算されます。
  • ピザ。 直径 40 cm のピザは、30 cm のピザのほぼ 2 倍の面積があります (1 257 cm² 対 707 cm²)。

長方形から他の図形へ

まとめ面積の計算式

形 エリア アイデア
矩形 $A = b \cdot h$ 正方形の線
平行四辺形 $A = b \cdot h$ 三角形を切り取って長方形にします
三角形 $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ 平行四辺形の半分
台形 $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ 2 つの台形が平行四辺形を形成します
ダイヤモンド $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ 対角線の長方形の半分
丸 $A = \pi r^2$ 扇形は「ほぼ長方形」を形成します
図形を選択し、黄色の頂点をドラッグします。高さは常にベース (破線) に対して垂直に測定されます。

注意高さは底辺に対して垂直です

平行四辺形や三角形の高さは傾斜した辺のではなく、直角に測った底辺と反対側の頂点の間の距離です。底辺と高さを変えずに図形を傾けても面積は変わりません。

円の面積

円を扇形に切り、上下交互に配置します。扇形が多い場合、図形は底辺 πr、高さ r の長方形になります。

練習問題

1

長方形の土地の大きさは 12 m × 5 m です。あなたの地域は何ですか?

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$A = 12 \cdot 5 = 60\ \text{m}^2$

2

三角形の底辺は 10 cm、高さは 6 cm です。面積を計算します。

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$A = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30\ \text{cm}^2$

3

流路の断面は、底辺が9m、5m、高さが4mの台形です。断面積とは何ですか？

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$A = \dfrac{(9 + 5) \cdot 4}{2} = 28\ \text{m}^2$

4

ひし形の凧の対角線は16cmと10cmです。どれくらいの紙を使うのでしょうか？

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$A = \dfrac{16 \cdot 10}{2} = 80\ \text{cm}^2$

5

円形の花壇の半径は 3 m です。その面積を計算します ($\pi \approx 3{,}14$ を使用します)。

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$A = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}3\ \text{m}^2$

正しいか、誤りか？

  1. 底辺と高さが同じ平行四辺形と長方形は同じ面積になります。
  2. 円の半径を2倍にすると面積も2倍になります。
  3. 三角形の面積は、底辺と高さが同じである平行四辺形の面積の半分です。
  4. 傾斜した平行四辺形では、高さは傾斜した辺になります。

出典: 要素、命題 I.35 · 要素、命題 I.41 · アルキメデス (MacTutor)。