この記事では、等確率事象について説明します。この概念は私たちが子供たちを教える際に取り上げるものであり、確率の概念の出発点です。

等確率事象とは何ですか?

等確率事象とは、発生確率が同じである事象、つまり、発生する可能性が同じである事象です。確率論でよく出てきます。このようにして、次のように定義します。

定義 (等価可能な事象): サンプル空間 $\Omega$ と、この空間からのランダムな実験があるとします。この有限空間 $\mathcal{A}=\\{e_1, e_2,\dots,e_n\\}$ からイベントのクラスを取得すると。これらのイベントが発生する確率が同じである場合、イベントは等確率です。

$$\mathbb{P}(e_1) = \mathbb{P}(e_1) = \dots = \mathbb{P}(e_n) =\dfrac{\text{número de eventos favoráveis} }{\text{total de casos} }$$

コイントスの例

確率が等しい出来事を例証するために、公正なコインを仮定しましょう。こちらです：

  • サンプルスペース: $$\Omega=\\{\text{cara}, \text{coroa}\\}$$
  • 等確率の出来事:
    • 表が落ちる確率は裏が落ちる確率と同じです $$\mathbb{P}(\\{\text{cara}\\}) = \mathbb{P}(\\{\text{coroa}\\}) = \dfrac{1}{2}$$

質問：

  • 表が落ちる確率はどれくらいですか。
$$\mathbb{P}(\\{\text{cara}\\}) = \dfrac{1 }{2}$$

割合で言えば、

$$\text{Chance } = \dfrac{1 \color{red}{~.~50} }{2 \color{red}{~.~50} } = \dfrac{50}{100} = 50\\%$$

サイコロを振る例

確率が等しいイベントを例証するために、正直なデータを仮定しましょう。こちらです：

  • サンプルスペース: $$\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}$$
  • 等確率の出来事:
    • 1のドロップ確率は2、3、4、5、6と同じです。 $$\mathbb{P}(\\{1\\}) = \mathbb{P}(\\{2\\}) = \mathbb{P}(\\{3\\}) = \mathbb{P}(\\{4\\}) = \mathbb{P}(\\{5\\}) = \mathbb{P}(\\{6\\}) = \dfrac{1}{6}$$

1 100 万ドルの質問:

  • サイコロが偶数になる確率はどれくらいですか。

まず、偶数データ$B=\\{ 2, 4, 6 \\}$のイベントを定義する必要があります。

番号 2 のドロップは、4 または 6 のドロップとは無関係です。

$$ \begin{aligned} \mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}( \{2 \text{ ou } 4 \text{ ou } 6 \} ) \\ &= \mathbb{P}(\{2 \}\cup \{ 4\} \cup \{ 6 \}) \\ &= \mathbb{P}(\{2 \}) + \mathbb{P}(\{ 4\}) + \mathbb{P}(\{ 6 \}) \\ &= \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{3}{6}\\ &= \dfrac{3 \color{red}{\div 3} }{6 \color{red}{\div 3} }\\ &= \dfrac{1 }{2}\\ \end{aligned} $$

したがって、着地する確率はコインを投げるのと同じです。

2 つのサイコロを振る例

サイコロ ゲームでは、2 つの公平なサイコロが同時に振られます。プレイヤーが勝つには、次のイベントが発生する必要があります。

質問: 「2 つの面の合計は 7 に等しくなければなりません。」

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$1\quad$ $(1,1)\quad$ $(1,2)\quad$ $(1,3)\quad$ $(1,4)\quad$ $(1,5)\quad$ $(1,6)\quad$
$2\quad$ $(2,1)\quad$ $(2,2)\quad$ $(2,3)\quad$ $(2,4)\quad$ $(2,5)\quad$ $(2,6)\quad$
$3\quad$ $(3,1)\quad$ $(3,2)\quad$ $(3,3)\quad$ $(3,4)\quad$ $(3,5)\quad$ $(3,6)\quad$
$4\quad$ $(4,1)\quad$ $(4,2)\quad$ $(4,3)\quad$ $(4,4)\quad$ $(4,5)\quad$ $(4,6)\quad$
$5\quad$ $(5,1)\quad$ $(5,2)\quad$ $(5,3)\quad$ $(5,4)\quad$ $(5,5)\quad$ $(5,6)\quad$
$6\quad$ $(6,1)\quad$ $(6,2)\quad$ $(6,3)\quad$ $(6,4)\quad$ $(6,5)\quad$ $(6,6)\quad$

こちらです：

  • サンプル空間: 36 要素 $$\Omega=\\{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), \dots, (6,6)\\}$$
    • 例えば：
      • 偶数 (1,1) の合計は $1+1=2$
      • 偶数 (1,2) の合計は $1+2=3$
      • $\vdots$
      • 偶数 (1,6) の合計は $1+6=4$
      • $\vdots$
      • 偶数 (6,6) の合計は $6+6=12$
  • 等確率の出来事:
    • 合計が 7 になる確率
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$1\quad$ $(1,1)\quad$ $(1,2)\quad$ $(1,3)\quad$ $(1,4)\quad$ $(1,5)\quad$ $\color{red}{(1,6)}\quad$
$2\quad$ $(2,1)\quad$ $(2,2)\quad$ $(2,3)\quad$ $(2,4)\quad$ $\color{red}{(2,5)}\quad$ $(2,6)\quad$
$3\quad$ $(3,1)\quad$ $(3,2)\quad$ $(3,3)\quad$ $\color{red}{(3,4)}\quad$ $(3,5)\quad$ $(3,6)\quad$
$4\quad$ $(4,1)\quad$ $(4,2)\quad$ $\color{red}{(4,3)}\quad$ $(4,4)\quad$ $(4,5)\quad$ $(4,6)\quad$
$5\quad$ $(5,1)\quad$ $\color{red}{(5,2)}\quad$ $(5,3)\quad$ $(5,4)\quad$ $(5,5)\quad$ $(5,6)\quad$
$6\quad$ $\color{red}{(6,1)}\quad$ $(6,2)\quad$ $(6,3)\quad$ $(6,4)\quad$ $(6,5)\quad$ $(6,6)\quad$

まず、以下を定義する必要があります。

  • データの合計が7のイベント番号。
  • 6 個の要素。
  • $B=\\{ (1,6), (2,5), (3,4),(4,4), (5,2), (6,1) \\}$.
$$\mathbb{P}(B) = \dfrac{\text{número de elementos favoráveis de B} }{\text{total de elementos do espaço amostral} } = \dfrac{6 }{36} = \dfrac{1 }{6}$$

これまで、等確率の出来事の例について説明してきました。次の投稿をお待ちください。