Euler's Eyes
2026-10-11
運動の法則：力と速度の変化
アリストテレスによれば、物体は何かに押されている間だけ動きます。荷車を押すのをやめれば、荷車は止まる。当たり前に思えますし、実際 2000 年近く受け入れられてきました。
ガリレオは疑問を持ちました。斜面に球を転がしてみて、表面がなめらかなほど球が遠くまで転がることに気づいたのです。摩擦がまったくなければ、球は決して止まらないでしょう。デカルトも同じような考えにたどり着きました。ニュートンはこれらの手がかりをまとめ、1687 年の『プリンキピア』に、力学全体の土台となる三つの法則を書きました。
この本はラテン語で書かれ、証明はほとんどユークリッド流の幾何学だけを使っています。ニュートンはすでに流率法を持っていましたが、読者が異論なく受け入れる言葉を選んだのです。法則は冒頭に、公理として現れます。
第一法則：慣性
すべての物体は、加えられた力によってその状態を変えられない限り、静止の状態、または直線上の一様な運動の状態を続ける。
— 『プリンキピア』法則 I
荷車が止まるのは摩擦が減速させるからで、動くのに「疲れた」からではありません。宇宙で、何もないところでは、エンジンを止めた探査機は何百万キロもまっすぐ進みます。1977 年に打ち上げられ、今も太陽から遠ざかり続けている探査機ボイジャーがその例です。
この教訓は直感に反します。力は運動を維持するものではなく、運動を変えるものなのです。
第二法則：力と加速度
運動の変化は加えられた起動力に比例し、その力が加えられた直線の方向に起こる。
— 『プリンキピア』法則 II
ニュートンが「運動」と呼んだのは、今日の運動量、つまり質量×速度のことです。質量が変わらなければ、この法則はおなじみの式になります。
$$\sum\vec F=m\,\vec a.$$$\sum$ は、大事なのはすべての力の合計だということを思い出させます。10 N の力が 2 kg の物体を右に押し、4 N の摩擦が左に引くなら、合力は右向き 6 N で、
$$a=\frac{6}{2}=3\ \text{m/s}^2.$$流率の言葉で言えば、加速度は $\ddot x$、位置の流率の流率です。すると第二法則は $m\ddot x=F$ という微分方程式になります。力がわかれば、運動全体を一瞬一瞬計算できます。これこそが、ニュートン力学を予測の機械にしているのです。
第三法則：作用と反作用
すべての作用には、つねに等しい反作用が逆向きにはたらく。
— 『プリンキピア』法則 III
壁を押すと、壁は同じ大きさの力であなたを押し返します。泳ぐ人が水を後ろに押すと、水は人を前に押します。ロケットも同じで、ガスを下に噴き出し、ガスがロケットを上に押します。
よくある混乱：力が等しく逆向きなら、なぜ打ち消し合わないのでしょうか？ それは別々の物体にはたらくからです。あなたが加える力は壁に、壁が加える力はあなたにはたらきます。あなたが加速するかどうかを知るには、あなたにはたらく力だけを数えます。
三法則の射程
この三つの文に万有引力の法則を加えて、『プリンキピア』は物体の落下、投射体の運動、潮の満ち引き、月の軌道、地球が両極でつぶれていることを説明しました。今でも、橋の設計、人工衛星の軌道計算、自動車の衝突シミュレーションに使われているのはこれらの法則です。
練習：物体にはたらく合力がゼロなら、速度もゼロでなければならないか？
いいえ。第一法則により、物体は静止しているか、または一定の速度で直線運動をしています。合力ゼロは加速度ゼロを意味し、速度ゼロを意味しません。
練習：1000 kg の車が 10 秒で 0 から 20 m/s まで加速した。平均の合力は？
平均加速度は $\dfrac{20}{10}=2$ m/s²。第二法則より $F=1000\cdot2=2000$ N。
資料： 『プリンキピア』の出版と年表、ニュートン・プロジェクト · MacTutor の伝記。