Euler's Eyes
2026-10-13
ライプニッツ対ドット：生きた記法と不毛な記法
1675 年 10 月 29 日、パリで、ライプニッツは曲線の下の無限に多くの細い帯をたし合わせていて、和のたびに omnia（「すべて」）と書くのにうんざりしました。彼はノートにこう書きとめます。
Utile erit scribi ∫ pro omnia.（「すべて」のかわりに ∫ と書くと便利だろう。）
— ライプニッツ、1675 年 10 月 29 日の手稿
$\int$ は、summa（和）の S を引きのばしたものです。二週間後、同じノートに、無限に小さな差を表す differentia（差）の $d$ が現れます。この二つの記号で、ライプニッツは微積分全体のための言語を手にしたのです。アイザック・ニュートンはその十年前にケンブリッジで同じ考えに達していましたが、書き方がちがいました。記号の形が、それで何ができるかをどう変えるのかを見るには、歴史上これ以上の例はありません。
同じ考えの二つの書き方
ニュートンは、動く物体の位置のように、時間とともに流れる量を考えていました。その量を流量、その変化の速さを流率と呼び、流率を文字の上の点で表すようになりました。流量が $x$ なら流率は $\dot{x}$、流率の流率は $\ddot{x}$ です。
ライプニッツは、となりあう値どうしのごく小さな差を考えていました。$x$ の差は $dx$、$y$ の差は $dy$ で、変化率はその比 $\dfrac{dy}{dx}$ です。並べてみましょう。
| 言いたいこと | ニュートン | ライプニッツ |
|---|---|---|
| $y$ の変化率 | $\dot y$ | $\dfrac{dy}{dx}$ |
| 何についての？ | 時間（暗黙） | $x$（明記） |
| 二階導関数 | $\ddot y$ | $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ |
| 帯の和 | 定まった記号なし | $\displaystyle\int y\,dx$ |
| 連鎖律 | 規則を覚える | $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ |
ニュートンのドットのほうが短いのはたしかです。けれども、それが何を隠しているかに注意してください。何について微分しているのか、という変数です。ニュートンにとってそれはいつも時間で、彼の物理学ではそれで正しかったのです。ある量が時間以外のものに、あるいは同時にいくつものものに依存するとき、ドットにはそれを言う場所がありません。
記号の背後にある言葉
この計算法の名前にも、イメージが宿っています。導く（derive）はラテン語の derivare から来ていて、de（から）と rivus（小川）からなり、川の水を水路に引くことを意味します。導関数（derivative）は、関数から「流れ出る」ものなのです。接線（tangent）は tangere（ふれる）から来ていて、曲線に一点でふれるだけの直線です。ライプニッツの differentia は differre（引き離す）から来ていて、となりあう二つの値のあいだの小さな距離です。そしてニュートンの流率（fluxion）は、文字どおり流れ、流れるものです。1704 年、『求積論』の中で、ニュートンは自分のドットをこう宣言しました。
x、y、z を流量とする。それらの流率は、次の記号 ẋ、ẏ、ż で表される。
— アイザック・ニュートン『求積論』（1704）
ニュートンとライプニッツのあと、ほかの人たちも独自の書き方をつくり、それぞれが同じ考えの別の部分を見えるようにしました。
| 人物 | 書き方 | 見せるもの | 隠すもの |
|---|---|---|---|
| ニュートン（1690 年代） | $\dot y$ | 時間による変化 | 変数 |
| ライプニッツ（1675） | $\dfrac{dy}{dx}$ | 変化の比、連鎖律 | ふつうの分数ではないこと |
| ラグランジュ（1797） | $f'(x)$ | 導関数が別の関数であること | 何について微分するか |
| アルボガスト（1800） | $Df$ | 微分が関数への操作であること | 点と変数 |
どれか一つだけが勝ったわけではありません。今では一冊の本の中で、導関数については $f'(x)$、連鎖律の計算には $\frac{dy}{dx}$、速度には $\dot x$ を使います。問題に応じて書き方を切りかえられることも、微積分がわかっていることの一部なのです。
ひとりでに計算する記法
ライプニッツは、分数のようにふるまう記号を選びました。本物の分数ではありません（$dy$ と $dx$ の厳密な意味は、19 世紀に極限によってはじめて明らかになりました）。けれどもこの書き方は、分数の操作が、そうなるべき場合には正しい結果を出すように設計されていたのです。典型的な例が連鎖律です。$\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ では $dy$ が「約分」されて $\dfrac{dz}{dx}$ になります。規則が記号の形そのものに描かれているのです。
このサイトの以前の記事が例に使っていた計算を見てみましょう。$f=(x^5-2x)^{\pi}$ を微分するには、かっこの中を $u$ とおきます。
$$u=x^5-2x,\qquad f=u^{\pi}.$$すると
$$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\pi\,u^{\pi-1}\cdot(5x^4-2)=\pi\,(x^5-2x)^{\pi-1}(5x^4-2).$$ライプニッツの記法で書く人は、中身の導関数をかけなければならないことを覚えておく必要がありません。書き方がそれを求めるのです。約分するための $du$ が足りず、それを得る唯一の方法は $\frac{du}{dx}$ と書くことだからです。数を使ってこの分数の遊びを近くで見たい人は、ライプニッツの記法の章を見てください。
これこそ、最初の記事から生きた記法と呼んできたものです。ライプニッツは自分のしていることをよくわかっていました。
記号には発見のための利点がある。それが最大になるのは、記号がものの正確な本性を簡潔に表し、いわばそれを描き出すときである。そのとき、思考の労力は驚くほど軽くなる。
— ライプニッツからチルンハウスへの手紙（1678）
積分の中の $dx$ も同じです。飾りのように見えますが、はたらいています。$\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$ を計算するには、$u=x^2+1$ とおきます。すると $\frac{du}{dx}=2x$ で、ライプニッツの書き方は「$dx$ を反対側に移す」ようさそいます：$du=2x\,dx$。積分は次のようになります。
$$\int u^3\,du=\frac{u^4}{4}+C=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C.$$これが置換積分の規則であり、これもまた書き方の中に描かれているのです。
ドットにとらわれたイギリス
だれが先に微積分を発明したかという激しい争いのあと、イギリスの数学者たちは結束しました。忠誠心から、ニュートンのドットを使うことにしたのです。大陸はライプニッツの $d$ を使いました。18 世紀を通じて、解析学の大きな進歩のほとんどは大陸から生まれました。ベルヌーイ家、オイラー、ラグランジュ、ラプラス。何も示唆しない記法をかかえたイギリス人は、百年以上も取り残されました。このサイトの以前の記事は、こうまとめていました。ニュートンの記法は不毛だった、と。
ニュートンのドットが死んだと言うのは不公平でしょう。物理学で変数が時間のときには、ドットは短くて明快で、今でも速度を $\dot x$、加速度を $\ddot x$ と書きます。ドットが不毛なのは、微積分全体のための言語としてであって、特定の場合の略記としてではありません。ちなみに、これはよい判定基準です。新しい問題に持ちこんでも働きつづけるなら、その記法は生きているのです。
練習問題：ライプニッツの書く連鎖律
$z=(3x^2+1)^4$ を微分します。$y=3x^2+1$ とおくと $z=y^4$ で、
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=4y^3\cdot6x=24x\,(3x^2+1)^3.$$練習問題：ドットでは足りないとき
ある物体の位置 $x$ は時間に依存し、量 $y=x^2$ は位置に依存しています。考えている瞬間に $x=3$、$\dot x=2$ だとすると、$\dot y$ はいくつでしょうか。
ライプニッツの記法では、$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}=2x\cdot\dot x=2\cdot3\cdot2=12$。ニュートンの書き方でも同じ数 $\dot y=2x\dot x$ が出ますが、そこにたどりつくには規則を前もって知っている必要がありました。ライプニッツの書き方は、なぜそれが成り立つのかを示し、さらに、ドットでは名前をつけられない、位置についての変化率 $\dfrac{dy}{dx}=2x$ を書くこともできます。