15 章の演習 — 任意の三角形

$\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ と $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$ がわかっているので、以下を決定します。 a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$。

以下の場合の$x$の値を求めます。

次の場合の三角形に外接する円の半径を求めます。

次の場合の $x$ の値を取得します。 a) $ABCD$ が平行四辺形である。 b) $ABCD$ は等脚台形です。

次の場合の角度 $x$ を決定します。

三角形には$ABC$ $\hat A = 60^{\circ}$、$\hat B = 45^{\circ}$、$BC = 4$cmが与えられます。 $\overline{AC}$の寸法を決定します。

鈍角と二等辺三角形では、底角はそれぞれ 30° になります。合同な辺のサイズがそれぞれ 10 cm であることを知って、三角形の底辺を決定します。

三角形$ABC$は$\hat A = 120^{\circ}$、$BC = 2\sqrt{3}$dm、$AC = 2$dmと鈍角です。この三角形の頂角 $B$ を測定します。

三角形 $ABC$ の各辺が $a$、$b$、$c$ である場合、次のことを証明します。

ここで、$A$ と $B$ は三角形の頂点 $A$ と $B$ の角度であり、$a$ と $b$ と $c$ はそれぞれ頂点 $A$ と $B$ と $C$ の反対側の辺です。

前の同じ演習で、$\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{\operatorname{sen}A - \operatorname{sen}B}{\operatorname{sen}B}$ であることを証明します。

三角形$ABC$の頂点$A$、$B$、$C$の反対側の辺を$a$、$b$、$c$とする。 $\dfrac{\operatorname{sen}A + \operatorname{sen}B}{\operatorname{sen}C} = \dfrac{a + b}{c}$ を証明してください。

以下の場合の$x$の値を求めます。

以下の場合の$x$と$y$を求めます。

次の場合、辺 $\overline{BC}$ に対する高さ $h$ を計算します。

以下の場合の$x$の値を求めます。

次の場合の角度の寸法 $x$ を求めます。

図の平行四辺形の対角線の長さが 20 cm と 32 cm で、なす角が 60° である場合、平行四辺形の辺を求めます。

三角形の性質を認識します。 a) 辺の長さは 6、12、13 です。 b) 辺の寸法が 6、10、12 である。 c) その辺の寸法は 5、12、および 13。 d) その辺の比率が 3 : 4 : 4,5 である。 e) その辺は 3、4、6 に反比例します。

辺が数字 3、4、5 に反比例する三角形の性質を認識します。

三角形の辺の長さは 15 m、20 m、および 25 m です。最長辺に対する高さを決定します。

三角形の辺の長さは 12 m、20 m、および 28 m です。 20 m 側の直線上への最小の投影を決定します。

三角形の辺の長さは 7 m、24 m、および 25 m です。短辺に対する高さを決定します。

鋭角三角形 $ABC$ の辺 $\overline{BC}$ を決定します。ここで、$AC = 7$ cm、$AB = 5$ cm、および $\overline{AB}$ への $\overline{AC}$ の投影は 1 cm です。

$BC = 8$ cm、$AC = 5$ cm、$\overline{AC}$ 上の辺 $\overline{AB}$ の投影が 3 mm に等しい、$A$ で鈍角になっている三角形 $ABC$ の辺 $\overline{AB}$ の寸法を求めます。

三角形 $ABC$ の辺 $\overline{BC}$ の寸法を決定します。ここで、$AC = 10$ cm、$AB = 6$ cm、および $\overline{AC}$ 上の辺 $\overline{BC}$ の投影は 10,4 cm に相当します。

三角形の底辺の長さは 10 cm、他の 2 つの辺はそれぞれ 14 cm と 8 cm です。これら 2 つの辺の三角形の底辺への投影を決定します。

三角形 $ABC$ の辺 $\overline{AC}$ への辺 $\overline{BC}$ の投影を決定します。ここで、$BC = 12$ cm、$AC = 16$ cm、および $AB = 18$ cm。

三角形 $ABC$ で、$m$ が $b$ への $c$ の投影であり、$n$ が $b$ への $a$ の投影である場合、$a^2 = b^2 + c^2 + 2bm$ と $c^2 = b^2 + a^2 + 2bn$ を同時に持つことは可能ですか?正当化してください。

図中、$x$の値を計算します。

図の三角形$ABC$において、辺$\overline{AB}$は12cm、辺$\overline{BC}$は9cm、辺$\overline{AC}$は6cmとなります。角度$\alpha$の余弦を計算します。

図の三角形の周囲長を計算します。

図の三角形$ABC$の周囲長を計算します。

$x + 5$、$3 - x$、および $x + 7$ が、角度 $\hat B$ が 120° に等しい三角形 $ABC$ の辺 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ および $\overline{AC}$ の寸法であることがわかっているので、$x$ の値を決定します。

測定値$\ell$の弦$\overline{AB}$は、円上の120°の弧を決定します。この円の点$B$から直径$\overline{AC}$までの距離を求めます。

図において、$\overline{AB}$は中心円$O$、$BC = 26$の半径に等しく、$\overline{BH}$は$\overline{AC}$に垂直です。 $HC$を計算します。

連続する 2 つの辺が 45° の角度を形成する平行四辺形の最長の対角線を決定し、それぞれ $5\sqrt{2}$ cm と 10 cm を測定します。

平行四辺形の連続する辺の寸法が 4 cm および 5 cm であり、対角線の 1 つが 6 cm であることがわかっているので、もう一方の対角線の寸法を決定します。

平行四辺形の連続する 2 辺の長さは 8 m および 12 m で、角度は 60° です。対角線を計算します。

三角形 $ABC$ の中央値 $\overline{AM}$ は 6 cm で、反対側の辺を 12 cm に等しい 2 つのセグメントに分割し、この辺と 60° 異なる 2 つの角度を形成します。この三角形の辺の長さを求めます。

$BC = 10$ cm、$AC = 1$ cm、$\beta = 30^{\circ}$ のような三角形 $ABC$ はありますか? $\beta$ は辺 $\overline{AC}$ の反対側の角度です。

平行四辺形の連続する 2 つの辺の寸法は $a$ および $b$ で、対角線の 1 つの寸法は $c$ です。もう一方の対角線の長さを決定します。

「どの三角形でも、鋭角の反対側の辺の正方形は、他の 2 つの辺の正方形の合計から、これらの辺の 1 つとその辺へのもう 1 つの辺の投影の積の 2 倍を引いたものに等しい」ことを証明してください。

「鈍角三角形では、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の 2 つの辺の平方和に、これらの辺の 1 つとその辺へのもう 1 つの辺の投影の 2 倍を加えたものに等しい」ことを証明してください。

三角形において、1 つの辺の平方が他の 2 つの辺の平方の和からこれら 2 つの辺の積を引いたものに等しい場合、同じ 2 つの辺が形成する内角を計算します。

辺が 6 cm、$6\sqrt{3}$ cm、および 12 cm の三角形 $ABC$ 長方形の辺に、3 つの外側の正方形を構築します。これらの正方形の中心によって決まる三角形の辺の長さを計算します。

四角形 $ABCD$ の辺の寸法は $AB = BC = 10$ m、$CD = 16$ m、$AD = 6$ m です。 $BD$を決定します。

正三角形 の内部点は、三角形の頂点から 5 cm、7 cm、および 8 cm 離れています。この三角形の辺を決めます。

この本の解像度を参照してください

1. $BQ = 5$ と $CQ = 7$ を持つ三角形の外側の点 $Q$ を考えます。 $\triangle PBA \equiv \triangle QBC$ (LLL) は $P\hat BQ = 60^{\circ}$ を与えることに注意してください。したがって、$\triangle PBQ$ は 等辺 および $B\hat PQ = 60^{\circ}$ ($\alpha = 60^{\circ}$) になります。
2. 余弦の法則を $\triangle PQC$ (辺 5、7、および 8) に適用すると、$\beta = 60^{\circ}$ が得られます。
3. $\alpha = 60^{\circ}$と$\beta = 60^{\circ}$、$B\hat PC = 120^{\circ}$です。余弦の法則を $\triangle BPC$: $x^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 120^{\circ} = 129$、つまり $x = \sqrt{129}$ cm に適用します。

中央値の公式を適用して三角形 $ABC$ の中央値 $\overline{AM}$ の測定値を決定し、スチュワートの関係を使用して計算します。

角の二等分線 の内部公式を適用して 角の二等分線 $\overline{AS}$ の尺度を決定し、角の二等分線 の定理とスチュワートの関係を使用して計算します。

$\triangle ABC$の$\overline{AP}$の外側の角の二等分線の測定値を角の二等分線の公式を適用して決定し、角の二等分線の定理とスチュワートの関係を使用して計算します。

以下の場合の$x$の値を求めます。

三角形の中線の二乗和とその三角形の辺の二乗和の比を求めます。

一辺が 6 m、10 m、および 12 m である三角形の高さを計算します。

三角形 $ABC$ の辺 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、および $\overline{BC}$ は、それぞれ 5 cm、6 cm、および 7 cm です。 $\overline{AC}$ 側を基準とした内部 角の二等分線 と、$\overline{AB}$ 側を基準とした外部 角の二等分線 と高さを決定します。

三角形 $ABC$ の辺 $a$、$b$、および $c$ を指定すると、頂点 $A$ から、底辺 $\overline{BC}$ を $m$ および $n$ に等しいセグメントに分割する点 $M$ までの距離を計算します。

三角形$ABC$内の$\overline{AS}$が角の二等分線であれば、$x$と$y$を求めます。

$\overline{AP}$が三角形$ABC$の外側の角の二等分線である場合、$x$と$y$を求めます。

辺 $a$、$b$、$c$ に応じて、三角形の 3 つの中央値 $m_a$、$m_b$、$m_c$ を与える式を導き出します。

三角形の 3 つの高さ $h_a$、$h_b$、$h_c$ を辺 $a$、$b$、$c$ の関数として与える式を導き出します。

辺 $a$、$b$、および $c$ の関数として三角形の内部 角の二等分線、$s_a$、$s_b$、および $s_c$ を提供する式を導出します。

三角形の 3 つの辺 $a$、$b$、および $c$ が与えられた場合、外側の 角の二等分線 を与える式を推定することにより、$s^{\prime}_a$、$s^{\prime}_b$、および $s^{\prime}_c$ を取得します。