Euler's Eyes
2026-10-11
平行線
平行線は決して交わることはありませんが、透視図では地平線で交わっているように見えます。
発見者
古典的な定義はユークリッド (c. 300 BC)、原論 の定義 I.23 にあります: 平行線とは、同じ平面内にあり、両方向に無限に延長されて交わらないものです。横断、交互、対応、付随によって形成される角度間の関係が命題 I.27 ～ I.29 です。哲学者のポシドニウス (紀元前 1 世紀) は、直線は常に同じ距離にある、という別の定義を提案しました。 プロクロスは討論を記録しました。
歴史
より自然に見える「等距離」線として緯線を定義してはどうでしょうか?なぜなら、交わらない 2 つの直線が常に同じ距離にあることを証明するには第 5 公準 が必要になるからです — そしてギリシャ人はすでにそれが微妙であると疑っていました。ユークリッドは、より少ない仮説に依存する定義を選択し、まず公準なしでできることをすべて証明しました。命題 I.27 と I.28 はそれを使用せず、I.29 は使用します。
ルネサンスのフィリッポ・ ブルネレスキ (c. 1415) とレオン・バッティスタ・ アルベルティ (1435) は、遠近法絵画では消失点に収束する平行線を描かなければならないことを示しました。したがって、「平行線が無限で交わる」射影幾何学が生まれました。
日常生活での応用
- 線路 線路は平行である必要があります。線路間の距離が変わると列車が脱線します。
- 道路の車線と駐車スペースは、交通を整理するために平行に描かれています。
- ブラインドとノートの譜表。 等間隔の平行線。
- 写真。 まっすぐな道路の写真では、平行な歩道が地平線上で交わっているように見えます。これはルネッサンスの消失点です。
出典: 要素、定義 I.23 · 要素、命題 I.29 · Proclus (MacTutor)。
理論と作図
定義平行線
2 つの直線が平行である（記号$\parallel$）のは、それらが一致するか、同一平面上にあり、共通点がない場合に限ります。
$$a = b \ \Rightarrow\ a \parallel b \qquad\qquad (a \subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \cap b = \varnothing) \ \Rightarrow\ a \parallel b$$
2本の直線と横断線によって形成される角度
$a$ と $b$ を平行か非平行の 2 つの異なる線とし、$t$ をその両方と同時の線とする: $t$ は $a$ と $b$ の横線です。それらによって決定される 8 つの角度には、ペアで名前が付けられます。
| ペア | 名前 | ディテールアップ |
|---|---|---|
| 1 と 7、2 と 8、3 と 5、4 と 6 | 代替 | 内部: 3 と 5、4 と 6 · 外部: 1 と 7、2 と 8 |
| 1 と 5、2 と 6、3 と 7、4 と 8 | 特派員 | どの交差点でも同じ位置 |
| 1 と 8、2 と 7、3 と 6、4 と 5 | 担保 | 内部: 3 と 6、4 と 5 · 外部: 1 と 8、2 と 7 |
性質1 つの合同が他のすべてを引き寄せる
ペアの 1 つ ($\hat{1} \equiv \hat{7}$ など) の 2 つの交互の角度の合同は等価です。
- すべての交互ペア ($\hat{2} \equiv \hat{8}$、$\hat{3} \equiv \hat{5}$、$\hat{4} \equiv \hat{6}$) の合同。
- すべての対応するペアの合同。
- すべての担保のペアの補足 ($\hat{1} + \hat{8} = \hat{2} + \hat{7} = \hat{3} + \hat{6} = \hat{4} + \hat{5} = 180^{\circ}$)。