ギリシア人は、ユークリッドの『原論』の道具である定規とコンパスでは、だれにも解けなかった三つの作図問題を残しました。

  1. 立方体の倍積：与えられた立方体の 2 倍の体積をもつ立方体の辺を作図する。
  2. 角の三等分：任意の角を三つの等しい部分に分ける。
  3. 円の正方形化：与えられた円と同じ面積の正方形を作図する。

伝説によれば、疫病がはやったとき、デロスの神託はアテネの人々に、立方体の形をしたアポロンの祭壇を 2 倍にせよと命じました。人々は辺を 2 倍にしましたが、体積は 8 倍になり、疫病はおさまりませんでした。二千年にわたって数学者たちは挑みました。答えが出たのは 19 世紀、ガウスとガロアの考えによってでした。それは不可能なのです。

定規とコンパスにできること

長さ 1 の線分から始めます。定規とコンパスを使えば、相似な三角形によって長さを足し、引き、かけ、割ることができます。そして、半円の中の相乗平均で平方根をとることもできます。しかし、それだけです。

理由は解析幾何学にあります。作図の新しい点はどれも、二本の直線の交点、直線と円の交点、二つの円の交点のどれかです。直線の方程式は 1 次、円の方程式は 2 次です。これらの交点を求めるのに、2 次方程式より高い次数の方程式は決して必要ありません。だから作図の各ステップで加わるのは、せいぜい平方根一つなのです。

定規とコンパスで作図できる長さは、1 から四則演算と平方根で書ける。とくに、それが有理数の範囲で因数分解できない方程式の根であれば、その方程式の次数は 2 のべき乗である。

デロスの立方体

辺 1 の立方体を 2 倍にするとは、体積 2 の立方体の辺 $x$ を作図することです。

$$x^3=2,\qquad x=\sqrt[3]2\approx1.2599.$$

方程式 $x^3-2=0$ は有理数の根をもたず、より低い次数の有理数係数の多項式に因数分解できません。次数は 3 で、2 のべき乗ではありません。したがって $\sqrt[3]2$ は作図できません。デロスの祭壇は、定規とコンパスでは 2 倍にできないのです。

60° の角

かんたんに三等分できる角もあります。直角は三つの $30°$ の角に分けられ、$30°$ は正三角形で作図できます。しかし問題が求めているのはどんな角にも使える方法で、反例が一つあれば十分です。$60°$ をとりましょう。これを三等分するとは、$20°$、つまり長さ $x=\cos20°$ を作図することです。余弦の 3 倍角の公式

$$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

で、$\theta=20°$、$\cos60°=\frac12$ とすると、

$$4x^3-3x=\frac12\qquad\Longrightarrow\qquad8x^3-6x-1=0.$$

ありうる有理数の根は $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$ だけで、どれも当てはまりません。よって方程式は因数分解できず、次数は 3 です。$60°$ の角は定規とコンパスで三等分できません。

ヴァンツェルとガロア

この二つの証明は 1837 年、理工科学校の学生だった 23 歳のフランス人ピエール・ヴァンツェルが、リウヴィルの雑誌に発表しました。ヴァンツェルはガウスとラグランジュの考えを使いました。ガロアの著作が出版されるのは九年後のことです。今日、この議論はガロア理論で説明されます。方程式の次数は、その根がつくり出す数の世界の大きさを測り、定規とコンパスは二段ずつしか登れないのです。

三つ目の問題はさらに難しいものです。半径 1 の円を正方形にするとは、$\sqrt\pi$ を作図することです。1882 年、ドイツのフェルディナント・フォン・リンデマンは、$\pi$ が有理数係数のどんな方程式の根でもないこと、つまり超越数であることを証明しました。これで、円も正方形にはできないことになりました。

練習問題：正七角形は定規とコンパスで作図できるか。

できません。数 $x=\cos\frac{2\pi}7\approx0.6235$ は $8x^3+4x^2-4x-1=0$ の根です。ありうる有理数の根は $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$ で、どれも当てはまりません。たとえば $x=\frac12$ では多項式の値は $1+1-2-1=-1$ です。よって方程式は因数分解できず、次数は 3 で、$\cos\frac{2\pi}7$ は作図できません。

練習問題：3 倍角の方程式も 3 次なのに、90° の角が三等分できるのはなぜか。

$\cos90°=0$ なので、方程式は $4x^3-3x=0$ となり、$x(4x^2-3)=0$ と因数分解できます。求める根 $x=\cos30°=\frac{\sqrt3}2$ は 2 次方程式から得られ、平方根は作図できます。問題が不可能になるのは、$60°$ の場合のように、3 次方程式が因数分解できないときだけです。

出典： Pierre Wantzel、“Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas”、Journal de mathématiques pures et appliquées 2（1837）· Ian Stewart、Galois Theory（CRC Press、第 4 版、2015）· Felix Klein、Famous Problems of Elementary Geometry（1897）。

エヴァリスト・ガロアの全トピック · ← ガロアの虚数：有限体 · エヴァリスト・ガロアの遺産 →

画像クレジット.