Euler's Eyes
2022-08-17
整数の増強
括弧は基数を変更します
(−2)² と −2² を比較します。次に、指数を 3 に変更します。どちらの場合もマイナス記号は基数に属しますか?
小さな画面では図形を横にスクロールして詳細を確認してください。
結果が異なる場合があるのはなぜですか?
- (−2)² の底は −2: (−2) × (−2) = 4 です。
- −2²は2²の逆を示します。
- まず 2 × 2 = 4;次に、その反対の −4 を取得します。
- したがって、(−2)² = 4 および −2² = −4 となります。
紀元前 470 年頃のキオスのヒポクラテスは、幾何学への応用のために増強について最初に言及し、ユークリッドの本『要素』の作成の動機となりました。彼はコレクションの中でこのテーマを「デュナミス」と呼んでいますが、これは簡単に言うと力を意味します。
ダイナミスを使用した最も重要な計算は、紀元前 287 年頃にシラキュースのアルキメデスによって行われました。その応用は、当時工学で使用されていた物理学の分野にありました。
増強の予備的な概念
数学の歴史において、学者は(エクサクオ) として知られていました。当時は他に、 自然 (ファイシス) や進化 (ロゴス) という用語も知られていました。このようにして、次の項の導出が得られます。
- Exactum は Invention と同等です
- Exactus は Perfect と同等です
数学の進化を理解するには、数学の歴史上の主要なトピックを観察する必要があります。
- 0 ～ 1637 年 - 自然を描く;
- 1637 年から 1830 年 - 自然を解読します。
- 1830 年から 1890 年 - 自然を模倣し、設計します。
- 1890 年から 1980 年 - 自然を制御します。
- 1980年から今日まで - 自然を創造します。
| ルネ | デカルト |
|---|---|
|
|
すでに中世には、これらの増強の概念は、1596 年頃の哲学者ルネ デカルトによって、1637 の著作『幾何学』によって固まりました。
指数
前述したように、指数の概念はアルキメデスに始まり、体積を研究する際に非常に大きな数を得ました。このことから、この種の数値を 10 乗で表すようになりました。
定義: 底の上に表示される数値は指数と呼ばれます。
この表現のためにアルキメデスが設計した主な研究は砂粒計数器でした。
例: 砂粒カウンターのベースは 10 です。
Ampliar figura para ler os detalhes
累乗の底は任意の数値にできますが、この記事では整数を使用します。
$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots\\}$$10の力
たとえば、10 の累乗で数値を入力してみましょう。
| 10の力 | 等しい | 10 の複数表現 |
|---|---|---|
| $10^1$ | $=$ | 10 |
| $10^2$ | $=$ | 100 |
| $10^3$ | $=$ | 1000 |
| $10^4$ | $=$ | 10000 |
| $10^5$ | $=$ | 100000 |
| $10^6$ | $=$ | 1000000 |
| $10^7$ | $=$ | 10000000 |
| $10^8$ | $=$ | 100000000 |
| $10^9$ | $=$ | 1000000000 |
| $10^{10}$ | $=$ | 10000000000 |
| $10^{11}$ | $=$ | 100000000000 |
| $10^{12}$ | $=$ | 1000000000000 |
強化を使用する主な動機はアルキメデスによって使用されました。この表現をアルキメデスは砂粒のカウンターと呼んだ。
彼はどのようにしてこの結論に至ったのでしょうか?
砂粒カウンター: 地球と太陽の間の距離に等しい半径の球を満たすのに必要な砂粒は $10^{51}$ のオーダーです (良いアイデアです) 😂😂😂。これらの番号は無数と呼ばれる10000までの順序で書かれています。
アルキメデスの番号付けシステムでは、最大で無数 ($10000 = 10^4$) までの番号が付けられます。
- 無数までの番号付けシステム ($10000^2 = 10^8$)。
したがって、砂粒カウンターには $10^8$ より大きい番号付けシステムが必要でした。そこで、そのアイデアを確認してみました。
- 無数の無数の
- $10000 ~.~ 10000 = 10^8$
- 砂粒カウンター
- $10^3 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 = 10^{51}$
では、このルールをどのように拡張したのでしょうか?
以下のことを観察します。
| 10の力 | 等しい | 10 の複数表現 |
|---|---|---|
| $10$ | $=$ | $10$ |
| $10^2$ | $=$ | $10 ~.~10 = 10^{1+1} = 10^2$ |
| $10^3$ | $=$ | $10 ~.~10 ~.~10 = 10^{1+1+1} = 10^3$ |
| $ \vdots $ | $=$ | $ \vdots $ |
| $10^n$ | $=$ | $10 ~.~\dots~.~10 = 10^n$ |
一般的に：
2の力
10 のパワー概念を使用して、基本パワー 2 について説明できるようになりました。
| 2の力 | 等しい | 2 の複数表現 | $=$ | 指数 | 結果 |
|---|---|---|---|---|---|
| $2^1$ | $=$ | $2$ | $=$ | $2^1$ | $2$ |
| $2^2$ | $=$ | $2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1} =2^1~.~2^1$ | $4$ |
| $2^3$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1} = 2^2~.~2$ | $8$ |
| $2^4$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1}= 2^2~.~2^2=4~.~4$ | $16$ |
| $2^5$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1}= 2^4~.~2$ | $32$ |
| $2^6$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1} = 2^3~.~2^3 = 8~.~8$ | $64$ |
| $2^7$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1} = 2^6~.~2$ | $128$ |
| $2^8$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1+1}= 2^4~.~2^4 = 16 ~.~16$ | $256$ |
| $2^9$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1+1+1} = 2^8~.~2$ | $512$ |
| $2^{10}$ | $=$ | $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ | $=$ | $2^{1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}=2^5~.~2^5 = 32~.~32$ | $1024$ |
3の力
10 のパワー概念を使用して、基本パワー 3 について説明できるようになりました。
| 3の力 | 等しい | 3 の複数表現 | $=$ | 指数 | 結果 |
|---|---|---|---|---|---|
| $3^1$ | $=$ | $3$ | $=$ | $3^1$ | $3$ |
| $3^3$ | $=$ | $3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1} =3^1~.~3^1$ | $9$ |
| $3^3$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1} = 3^2~.~3$ | $27$ |
| $3^4$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1}= 3^2~.~3^2=9~.~9$ | $81$ |
| $3^5$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1}= 3^4~.~3$ | $243$ |
| $3^6$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1} = 3^3~.~3^3 = 27~.~27$ | $729$ |
| $3^7$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1} = 3^6~.~3$ | $2187$ |
| $3^8$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1+1}= 3^4~.~3^4 = 81 ~.~81$ | $6561$ |
| $3^9$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1+1+1} = 3^8~.~3$ | $19683$ |
| $3^{10}$ | $=$ | $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ | $=$ | $3^{1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}=3^5~.~3^5=243~.~243$ | $59049$ |
一般的な場合
前のセクションでいくつかのケースを示したので、そのケースに拡張できます。セカ$k$は整数$(k \in \mathbb{Z})$、$n$は自然数の指数$(n\in \mathbb{N})$。
| $k$の力 | 番号グループ |
|---|---|
| $k^n$ | $k \in \mathbb{Z}, \quad n\in \mathbb{N}$ |
例
概念を確立するために、$k\in \mathbb{Z}$ を整数、$n\in \mathbb{N}$ を自然数とします。
| $k\in \mathbb{Z}$ 整数 | パワーセット |
|---|---|
| $-6$ | $(-6)^n=\\{(-6)^1, (-6)^2, (-6)^3, (-6)^4, \dots\\} $ |
| $-5$ | $(-5)^n=\\{(-5)^1, (-5)^2, (-5)^3, (-5)^4, \dots\\} $ |
| $-4$ | $(-4)^n=\\{(-4)^1, (-4)^2, (-4)^3, (-4)^4, \dots\\} $ |
| $-3$ | $(-3)^n=\\{(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, \dots\\} $ |
| $-2$ | $(-2)^n=\\{(-2)^1, (-2)^2, (-2)^3, (-2)^4, \dots\\} $ |
| $-1$ | $(-1)^n=\\{(-1)^1, (-1)^2, (-1)^3, (-1)^4, \dots\\} $ |
| $1$ | $1^n=\\{1^1, 1^2, 1^3, 1^4, \dots\\} $ |
| $2$ | $2^n=\\{2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots\\} $ |
| $3$ | $3^n=\\{3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots\\} $ |
| $4$ | $4^n=\\{4^1, 4^2, 4^3, 4^4, \dots\\} $ |
| $5$ | $5^n=\\{5^1, 5^2, 5^3, 5^4, \dots\\} $ |
| $6$ | $6^n=\\{6^1, 6^2, 6^3, 6^4, \dots\\} $ |
パワーにはいくつかのプロパティがあります。ただし、最初に符号ルールが必要なので、それは後回しにしておきます。