Euler's Eyes
2026-10-11
直線と円の相対位置
直線は 2 点で円を切ることも、1 点で触れることも、遠くに通過することもできます。接しているだけの線が接線です。
発見者
タンジェントのプロパティは、ユークリッドによる原論の書籍 III に記載されています (紀元前 300 頃)。 命題 III.16は、半径に垂直な直線がその端で円に一点で接することを示し、命題 III.18はその逆、つまり接線が半径に垂直であることを証明します。 タンジェントという言葉は、ラテン語で「触れる」 を意味するタンジェレに由来します。
歴史
命題 III.16 は、幾何学において最も長い論争の 1 つを引き起こしました。ユークリッドは、円と接線の間の「角度」は直線によって形成されるどの角度よりも小さいと述べています。この偶然の角度はゼロより大きく、どの角度よりも小さいという奇妙なことになります。 16 世紀にジャック・ ペルティエとクリストヴァン・ クラヴィオは、自分が本当にアングルなのかどうかを長年にわたって議論した。この問題は数世紀後にようやく解決されました。
接線は微分積分の出発点でもありました。 17 世紀、フェルマー、デカルト、ニュートン、ライプニッツは、任意の曲線の接線を引く方法を探していました。その答えとして導関数が生まれました。
日常生活での応用
- 車輪が地面に接地している。 車輪は 1 点で道路に接触します。道路は車輪に接しています。
- グラインダーからの火花。 火花は回転する石の接線から出ます。タイヤから出る泥も同様です。
- スリングとハンマー投げ。 オブジェクトは放されると、円形のパスの接線に沿って進みます。
- 道路のカーブ。 エンジニアは、ステアリング ホイールに「衝撃」を与えないように、直線と曲線のセクションを接線方向に接続します。
出典: 要素、命題 III.16 · 要素、命題 III.18 · Clávio (MacTutor)。
理論と作図
定義正割線、接線、外面
- 直線が 2 つの異なる点で円と交差する場合、 直線は円に対して割線になります。
- 一点（接点） で交わる場合は接です。線上の他の点は外側にあります。
- 迎撃しなければ外部です。
性質乾燥特性
a) 正割線が $A$ と $B$ で円を切り、$M$ が弦 $\overline{AB}$ ($M \neq O$) の中点である場合、$\overline{OM} \perp \overline{AB}$ (三角形 $OAM$ と $OBM$ の LLL の場合)。
b) 逆に、中心を通って引かれた弦への垂線は弦の中点を通過します (カテート斜辺の場合)。
結果: 文字列の垂直二等分線 が中心を通過します。
定理接線プロパティ
a) 端（円上）の半径に垂直なすべての直線は、 円に接します。
b) すべての接線は、 接点で半径に対して垂直になります。
デモを見る
a) $T$ に $t \perp \overline{OT}$ を、$t$ の別の点を $E$ とします。セグメント $\overline{OE}$ は斜めで、$\overline{OT}$ は $t$ に対して垂直であるため、$OE > OT = r$: $E$ は外部になります。したがって、$t$ には円との共通点が 1 つあります。それは接線です。
b) $t$ が $\overline{OT}$ に対して垂直でない場合、$M$ を $O$ による $t$ への垂線の足とします ($M \neq T$)。 $\overrightarrow{MT}$ と $MX = MT$ の反対側の光線上の $X$ を取ると、三角形 $OMX$ と $OMT$ は合同 (LAL) になり、$OX = OT = r$: $X$ は円周上にあり、$t$ はそれを 2 点で切断します - 不合理です。
まとめストレートと円周
$d$ を中心から直線までの距離とすると、次のようになります。
| $d < r$ | $d = r$ | $d > r$ |
|---|---|---|
| セカント (2 ポイント) | 接線(1点) | 外装（ポイントなし） |