公式資料: 完全な証拠 · OBMEP ソリューション · 年間コレクション。

以下の決議は、公式ノートブックの番号に従っています。テストを開いて、ステートメント、代替案、図に従ってください。ここでの説明には著作権があります。答えを確認する前に、各質問に答えてください。

テンプレート

質問 答え
1–5 B · B · E · C · D
6–10 A · E · A · B · E
11–15 E · B · D · C · D
16–20 D · E · C · B · D

質問 1 — 重複

そして最後に接着しました。 A はその下にあり、B の上にあります。 B は C と D をカバーします。したがって、最初の 2 つは C と D、3 番目はB、4 番目の A と 5 番目の E です。代替案 Bです。

質問 2 — 経路と直線距離

図の各偏差は正方形の 3 辺をカバーしますが、AB への投影は 1 辺のみを測定します。これらの辺の長さを$a,b,\ldots,g$とすると、距離は$3(a+b+\cdots+g)=6$kmとなります。直線距離 AB は、3 の係数を除いた合計、2 km — B です。

質問 3 — ボールの配分

2 つの連続したボックスに $2+3=5$ 個のボールが入ります。最初の 404 ペアは、2020 個のボールを 808 ボックスに保管します。ボックス 809 は 2021 と 2022 を受信します。次は 2023、2024、2025 を受け取ります。ボール 2023 はボックス 810 — E の中にあります。

質問 4 — 製品の違い

$u=20235$ と、和と差の積を使用します。

$$u^2-(u+3)(u-3)=u^2-(u^2-9)=\boxed9.$$

代替 C. アイデンティティは 2 つの広範な乗算を回避します。

質問 5 — 移動距離

60 km/h で 4 時間で、240 km を走行します。 2 つの完全なセクションの測定値が $x$ と $D-x$ の場合、指定された時間の間に移動した部品は $3x/4+3(D-x)/4=3D/4$ になります。したがって、$3D/4=240$ と**$D=320$ km — D** となります。

質問 6 — 方程式と逆数

$x^2-3x+1=0$として$x\ne0$があります。方程式を $x$ で割ると、$x+1/x=3$ が得られます。四角：

$$x^2+2+\frac1{x^2}=9\quad\Rightarrow\quad x^2+\frac1{x^2}=\boxed7.$$

代替案 A. 結果は両方のルートに有効です。

質問 7 — 正方形の面積

黄色の領域は、メッシュ内の底辺と高さによって計算された面積 $3l^2$ と $2l^2$ の三角形に分割されます。合計は30、$5l^2=30$となります。各正方形の面積は**$6\text{ cm}^2$ ― E**です。

質問 8 — 部首を含む積

1 の符号のみが異なるペアで 8 つの因子をグループ化します。 $s=\sqrt2+\sqrt3$と$t=\sqrt2-\sqrt3$を入れると完成品は$(s^2-1)^2(t^2-1)^2$になります。 $s^2-1=4+2\sqrt6$や$t^2-1=4-2\sqrt6$のように、

$$[(4+2\sqrt6)(4-2\sqrt6)]^2=(16-24)^2=\boxed{64}.$$

代替案 A.

質問 9 — 年齢の特定

8 歳の子供だけが嘘をつき、彼にとって偽となる唯一の文は 8 歳の否定です。他の文は真です。9 を否定した子供は 7 を持っています。 7 を否定するものには 9 があります。要求された ID はB にあります。

質問 10 — パス

強調表示された 2 つの極端な点には、それぞれ 1 つのパスが許可されます。 2 つの内部ポイントのそれぞれで、6 つの到着ルートと 6 つの出発ルートが可能です。変位では上または右前方への移動のみが許可されるため、4 つのケースは重なりません。合計: $1+36+36+1=74$ - E。

質問 11 — レースでの有利さ

比較すると$v_B/v_A=80/100$と$v_C/v_B=380/400$が得られます。乗算すると、

$$\frac{v_C}{v_A}=\frac45\cdot\frac{19}{20}=\frac{19}{25}.$$

アンドレは 800 m 移動しますが、カルロスは $800\cdot19/25=608$ m 移動します。必要なアドバンテージは**$800-608=192$ m — E**です。 2 つの元の利点を追加すると、レース距離の違いは無視されます。

質問 12 — 接円

外側半径と内側半径を $R$ および $r$ と呼びます。小さな円の中心は 角の二等分線 角度 60° にあります。この接点で作られる三角形の角度は30°なので、この中心から頂点までの距離は$2r$です。内部の接線と中心の位置合わせにより、この同じ距離は $2R-r$ になります。つまり$2R-r=2r$、または$R=3r/2$です。

青い部分とピンク色の部分の比率は、

$$\frac{\pi r^2}{\pi R^2-\pi r^2}=\frac{1}{9/4-1}=\boxed{\frac45}.$$

選択肢 B.

質問 13 — 正方形とピタゴラス

白い正方形の辺が $L$ で、指定されたオフセット測定値が $x$ の場合、青い辺は $L+x$ と $L-x$ になります。青色の領域の合計は$2L^2+2x^2$です。強調表示された直角三角形には斜辺 2 があるため、$L^2+x^2=4$ になります。したがって、 和は8 － D となります。

質問 14 — 禁止された和を持つペア

43とは異なる10から76までの66番号は、合計が86となる33ペアを形成します。 1組につき1枚のみのご利用とさせていただきます。 43 と 23 の番号 77 ～ 99 は、別の禁止ペアを作成しません。最大値は $33+1+23=57$ で、43 ～ 99 から選択すると到達します。 代替案 C.

質問 15 — エリアの再編成

10 cm のセグメントと 60° の角度により、ピースが交わる場所に平行四辺形が形成されます。その対角線はお互いを半分に切ります。したがって、中央の四角形を離れる各三角形は、くぼみを埋める合同の三角形を持ちます。これらのペアを領域を変更せずに転送します。結果として得られる輪郭は、辺が 20 cm の正方形です。内角は、構造で示されている 30° と 60° の角度の合計に直角になります。エリアは**$20^2=400\text{ cm}^2$ — D**です。

質問 16 — 積となる合計

1～17の合計は$17\cdot18/2=153$となります。 $a$と$b$を除くと、条件は$153-a-b=ab$になります。 1 を追加して因数分解します。

$$154=ab+a+b+1=(a+1)(b+1).$$

どちらの係数も 2 と 18 の間にあります。 $154=2\cdot7\cdot11$の分周器ペアのうち、$11\cdot14$のみが応答します。したがって、$\{a,b\}=\{10,13\}$ で要求された製品は 130 — D となります。

質問 17 — 面の数字

向かい合う面の積が一定の場合、1、3、6 の反対側の数値は、正の整数 $t$ に対して $6t,2t,t$ になります。 98 は 3 の倍数ではないため、ビュー内のプロダクト 98 は面 3 および 6 を使用できません。また、$6t$も使用できません。したがって、$1,2t,t$ を使用し、$2t^2=98$ から $t=7$ が得られます。 6 つの数字は $1,3,6,42,14,7$ です。最大のものは42 — Eです。

質問 18 — 人々のブロック

一緒にいることを条件に、5 人の女の子は 1 から 6 までの任意の位置から始まるブロックを占有することができます。各位置には $5!\cdot5!$ 通りの女の子と男の子の順序があるため、6 つのケースは同じ重みになります。男子が一緒にいるのは、女子のブロックが端にある場合だけです。確率は**$2/6=1/3$ — C** です。

質問 19 — ストリップの折り目

長さを$a$、幅を$b$で表します。正方形オーバーレイの場合、辺の長さは $b$、対角の長さは $b\sqrt2$ になります。折り目の対称性により、長さの半分は、この対角線と、隣接する直角二等辺三角形で得られる長さ $2b$ のセクションとの合計になります。したがって、

$$\frac a2=b\sqrt2+2b\quad\Rightarrow\quad\frac ab=\boxed{2(2+\sqrt2)}.$$

選択肢 B. 重なっている正方形の辺と対角線を区別します。これらの辺が因数 1 と $\sqrt2$ を生じます。

質問 20 — 撤退のあるトーナメント

$N$ 人のプレイヤーが残っている場合は、$N(N-1)/2$ 人のプレイヤー同士で対戦します。 $k$ を 3 人のドロップアウト間の一致数、$0\le k\le3$ とします。各ドロップアウトの 2 回の出場を合計すると 6 になりますが、そのうち 2 人の試合は 2 回カウントされます。したがって、追加合計は$6-k$となり、

$$\frac{N(N-1)}2+6-k=50.$$

44 と 47 の間の三角数が必要です。唯一のものは 45 で、$N=10$ と $k=1$ があります。脱落者 3 名を合計すると13 名の選手 – D となりました。

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