演習と解決策

演習 80 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. 二等辺三角形はすべて等辺です。
  2. 正三角形 はすべて二等辺です。
  3. 不等辺三角形 は二等辺になります。
  4. すべての 二等辺三角形 は鋭角三角形です。
  5. すべての直角三角形は 不等辺三角形 です。
  6. 直角三角形と二等辺三角形があります。
  7. 二等辺三角形の鈍角があります。
  8. すべての鋭角三角形は二等辺または 等辺 のいずれかです。

演習 81 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. すべての 二等辺三角形 は合同です。
  2. すべての 正三角形 は合同です。
  3. すべての直角三角形は合同です。
  4. すべての直角二等辺三角形は合同です。
  5. すべての鋭角三角形は合同です。
82

$\triangle ABC$が底面$\overline{BC}$の二等辺である場合、$AB = 2x - 7$と$AC = x + 5$である$x$を決定します。

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$x = 12$

83

三角形$ABC$は等辺で、$AB = 15 - y$、$BC = 2x - 7$、$AC = 9$となります。 $x$と$y$を求めます。

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$x = 8$ および $y = 6$

84

$\triangle ABC$が底面$\overline{BC}$の二等辺である場合、$AB = 3x - 10$、$BC = 2x + 4$、$AC = x + 4$である$BC$を決定します。

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$BC = 18$ ($x = 7$)

85

$\triangle ABC$が底面$\overline{BC}$の二等辺である場合、$\hat{B} = 2x - 10^{\circ}$と$\hat{C} = 30^{\circ}$である$x$を決定します。

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$x = 20^{\circ}$

86

$\triangle ABC$が底面$\overline{AC}$の二等辺である場合、$\hat{A} = x + 30^{\circ}$と$\hat{C} = 2x - 20^{\circ}$である$x$を決定します。

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$x = 50^{\circ}$

87

$\triangle ABC$が底面$\overline{BC}$の二等辺の場合、$x$と$y$を求めます。

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$x = 85^{\circ}$ および $y = 50^{\circ}$

88

三角形$ABC$が等辺であることを知って、$x$と$y$を決定します。

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a) $x = 4$ および $y = 9$ b) $x = 4$ および $y = 3$

89

正三角形の周囲が75cmの場合、各辺の長さはどれくらいですか?

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25cm

90

二等辺三角形 の周囲が 100 m、底辺の長さが 40 m である場合、他の辺の長さはそれぞれどれくらいですか?

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30mと30m

91

次の場合の三角形 $ABC$ の周囲長を求めます。

a) 正三角形 と $AB = x + 2y$、$AC = 2x - y$、$BC = x + y + 3$。 b) 二等辺三角形 ベース $\overline{BC}$ と $AB = 2x + 3$、$AC = 3x - 3$、$BC = x + 3$。

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a) 45 b) 39

92

二等辺三角形 では、半周は 7,5 m に相当します。合同な辺の合計が底辺の 4 倍であることを知って、この三角形の辺を計算します。

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3m、6m、6m

93

各項目の三角形のペアは合同です。合同の場合を示します。 (等しい破線は合同な側面を示し、等しい円弧は合同な角度を示します。)

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a) LAL · b) LLL · c) LAAₒ · d) LAAₒ · e) LAAₒ · f) LAL、ALA または LAAₒ · g) 特殊なケース

94

三角形 $T_1, T_2, \ldots, T_{12}$ について考えてみましょう。合同な三角形のペアを見つけて、合同の場合を示します。 プレイ: 2 つの三角形をクリックしてペアを形成します。

演習 94 の 12 三角形を縮尺どおりに再描画したもの。 6 ペアを見つけます。
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$T_1 \equiv T_8$ (LAL) · $T_2 \equiv T_7$ (LAL) · $T_3 \equiv T_5$ (LAL) · $T_4 \equiv T_{11}$ (ALA) · $T_6 \equiv T_{10}$ (LLL) · $T_9 \equiv T_{12}$ (LAAₒ)

95

a)、b)、c) の場合、合同な三角形を選択し、合同である場合を示します。

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a) I ≡ II (LAL) · b) I ≡ III (ALA) · c) I ≡ III (特殊な場合)

96

合同の場合を例に挙げて、以下の図に合同な三角形を示してください。 c)では$\overline{AC} \equiv \overline{DF}$と$\overline{AB} \equiv \overline{DE}$。

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a) $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ (LAL) · b) $\triangle ACB \equiv \triangle ECD$ (LAAₒ) · c) $\triangle CAB \equiv \triangle FDE$ (LAL) · d) $\triangle EBA \equiv \triangle ECD$ (LLL) または $\triangle ECA \equiv \triangle EBD$ (LLL)

97

ALL または LLA が三角形間の合同のケースではないのはなぜですか?

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なぜなら、ALL（またはLLA）が合同な三角形と合同でない三角形が存在するからです。 「LLA?」を参照してください。合同の場合の図: 三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ と $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime\prime}$ は共通の $\hat{B}$、共通の $\overline{AB}$ と $\overline{AC} \equiv \overline{AC^{\prime\prime}}$ を持ちますが、$\overline{BC} \neq \overline{BC^{\prime\prime}}$ を持ちます。

98

図では、三角形$ABC$は三角形$DEC$と合同です。 $\alpha$と$\beta$を$\hat{A} = 3\alpha$、$\hat{B} = \beta + 48^{\circ}$、$\hat{E} = 5\beta$、$\hat{D} = 2\alpha + 10^{\circ}$として求めます。

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$\alpha = 10^{\circ}$ および $\beta = 12^{\circ}$

99

図では、三角形$ABD$は三角形$CBD$と合同です。 $x$と$y$、および三角形の辺$ACD$を計算し、$AB = x$、$BC = 2y$、$CD = 3y + 8$、$DA = 2x$とします。

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$x = 16$、$y = 8$、$AD = CD = AC = 32$

100

図では、三角形$CBA$は三角形$CDE$と合同です。 $x$ と $y$ の値、およびこれらの三角形の周囲の長さの比率 ($AB = 35$、$AC = 2x - 6$、$CE = 22$、$DE = 3y + 5$) を決定します。

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$x = 14$、$y = 10$、周囲の長さの比率は 1 です。

101

図では、三角形$PCD$は三角形$PBA$と合同です。 $x$ と $y$、および三角形の周囲長 $PCA$ と $PBD$ の比率 ($AB = 15$、$CD = x + 5$、$AP = 2y + 17$、および $PD = 3y - 2$) を決定します。

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$x = 10$、$y = 19$、周囲の長さの比率は 1 です。

102

図では、三角形$ABC$と$CDA$は合同です。 $x$と$y$を計算します。

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$x = 60^{\circ}$ および $y = 9^{\circ}$

103

図では、$C$ が $\overline{BE}$ の中点であることがわかっているので、三角形 $ABC$ と $DEC$ が合同であることを証明します。

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ALA を使用します: $\hat{B} \equiv \hat{E}$ (ストレート)、$\overline{BC} \equiv \overline{CE}$ および $B\hat{C}A \equiv E\hat{C}D$ (o.p.v.)。

104

図において、$\alpha \equiv \beta$ と $\gamma \equiv \delta$ がわかると、三角形 $ABC$ と $CDA$ が合同であることが証明されます。

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ALA を使用します: $\alpha \equiv \beta$、$\overline{AC}$ 共通、および $\gamma \equiv \delta$。

105

$\alpha \equiv \beta$ と $\varphi \equiv \theta$ の場合、三角形 $ABC$ が三角形 $ABD$ と合同であることを証明します。

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ALA を使用します: $\alpha \equiv \beta$、$\overline{AB}$ 共通、および $\varphi \equiv \theta$。

106

図では、$\overline{BF} \equiv \overline{CD}$、$m(A\hat{B}C) = m(F\hat{D}E)$、$m(B\hat{A}C) = m(D\hat{E}F)$なので、$\overline{AC} \equiv \overline{EF}$であることがわかります。

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$\triangle CBA \equiv \triangle FDE$ (LAAₒ): $\overline{BC} \equiv \overline{DF}$ ($BF = CD$ と $FC$ が共通)、$\hat{B} \equiv \hat{D}$ および $\hat{A} \equiv \hat{E}$。

107

$\overline{AB} \equiv \overline{AE}$、$m(B\hat{A}D) = m(C\hat{A}E)$、$m(A\hat{B}C) = 90^{\circ}$、$m(A\hat{E}D) = 90^{\circ}$なので、$\overline{BC} \equiv \overline{DE}$であることが証明されます。 (本の写真では、$C$ と $D$ が同じ側にあり、$\overline{AC}$ が $\overline{ED}$ に食い込んでいます。)

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$\triangle BAC \equiv \triangle EAD$ (ALA): $B\hat{A}C \equiv E\hat{A}D$ (合同角 $B\hat{A}D$ および $C\hat{A}E$ に $C\hat{A}D$ を加算…または減算)、$\overline{AB} \equiv \overline{AE}$ および $\hat{B} \equiv \hat{E}$ (直線角)。

108

二等辺三角形 の底を基準とした中央値も 角の二等分線 であることを示します。

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LLL: $M$ 基底中点、$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ を使用します。

109

二等辺三角形 の底に対する 角の二等分線 も中央値であることを証明します。

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LAL を使用します: $S$ で 角の二等分線 の足、$\triangle ABS \equiv \triangle ACS$、$BS = SC$ の順です。

110

二等辺三角形 の合同な辺に対する中央値が合同であることを証明します。

この本の解像度を参照してください

仮説: $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$; $\overline{BM}$ と $\overline{CN}$ は中央値です。 論文: $\overline{BM} \equiv \overline{CN}$。

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三角形 $BAM$ と $CAN$ では、$\overline{BA} \equiv \overline{CA}$、$\hat{A}$ が共通で、$\overline{AM} \equiv \overline{AN}$ (合同な辺の半分) です。 LAL により、$\triangle BAM \equiv \triangle CAN$、次に $\overline{BM} \equiv \overline{CN}$。

111

二等辺三角形 の合同な辺に対する 角の二等分線 が合同であることを証明します。

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角の二等分線と底辺で形成される三角形にALAを使用します。

112

三角形の辺に対する 角の二等分線 がその辺に対する中央値でもある場合、その三角形は二等辺であることを証明します。

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中央値を延長します。$\overline{MP} \equiv \overline{AM}$ を使用して光線 $\overrightarrow{AM}$ 上で $P$ を取得します。次に $\triangle AMB \equiv \triangle PMC$ (LAL)、次に $B\hat{A}M \equiv C\hat{P}M$、$\overline{AB} \equiv \overline{PC}$ です。 $\overline{AM}$は角の二等分線、$C\hat{P}M \equiv C\hat{A}M$、$\triangle ACP$なので二等辺：$\overline{AC} \equiv \overline{PC} \equiv \overline{AB}$となります。

113

8 cm、5 cm、18 cm の線分で三角形を構成できますか?なぜ？ (三角不等式の図形でテストします。)

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いいえ、条件 $|8 - 5| < 18 < 8 + 5$ が false であるためです。

114

三角形 $ABC$ の 2 つの辺 $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ は、それぞれ 8 cm と 21 cm です。 6 の倍数であることがわかっている場合、3 番目の辺はどれくらい測定できますか?

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18 cm または 24 cm

115

三角形の辺は$x + 10$、$2x + 4$、$20 - 2x$で表されるので、$x$の変動範囲を求めます。

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$\dfrac{6}{5} < x < \dfrac{26}{3}$

116

二等辺三角形 の 2 辺の長さが 38 cm と 14 cm である場合、3 番目の辺の長さは何になりますか?

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38 cm (三角形14、14、38は存在しません)。

117

三角形$ABC$の辺$\overline{AB}$は整数で表されます。辺 $\overline{AC}$ と $\overline{BC}$ の寸法がそれぞれ 27 cm と 16 cm であり、$\hat{C} < \hat{A} < \hat{B}$ であることがわかっているので、その最大値を決定します。

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15cm

118

直角三角形には 2 つの鋭角があることを示します。

この本の解像度を参照してください

直角に隣接する外角 $\gamma^{\prime}$ を考えてみましょう。直腸を補足するものと同様、$\gamma^{\prime} = 90^{\circ}$。 $\alpha$ と $\beta$ が非直角の内角である場合、外角定理によれば、$\gamma^{\prime} > \alpha$ と $\gamma^{\prime} > \beta$ になります。したがって、$\alpha < 90^{\circ}$ と $\beta < 90^{\circ}$: 三角形には 2 つの鋭角があります。

119

直角三角形の斜辺が各脚よりも大きいことを示します。

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前の演習を使用してください。直角が最大の角度であり、最大の辺は最大の角度の反対側になります。

120

鈍角三角形には 2 つの鋭角があることを示します。

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演習118と同じように、鈍角(鋭角)に隣接する外角を使用します。

121

鈍角三角形の鈍角の反対側の辺が他の各辺よりも大きいことを示します。

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上記を使用します。鈍角が最大の角度です。

122

直角三角形の斜辺が脚の半和よりも大きいことを示します。

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斜辺 > 脚: $a > b$ および $a > c$ $\Rightarrow$ $2a > b + c$ $\Rightarrow$ $a > \dfrac{b + c}{2}$。

123

三角形の辺は半周よりも小さいことを証明してください。

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三角不等式により、$a < b + c$; $a$: $2a < a + b + c$、$a < \dfrac{a + b + c}{2}$ を追加します。

124

$P$ が三角形 $ABC$ の内点である場合、$B\hat{P}C$ が $B\hat{A}C$ より大きいことを示します。

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$\overline{BC}$を切るまで$\overline{AP}$を伸ばします。外角定理を 2 回使用します。$B\hat{P}C$ は、$\hat{A}$ より大きい外角を含む三角形の外側です。

125

$P$が三角形$ABC$の内点なら$PB + PC < AB + AC$と示します。

この本の解像度を参照してください

$Q$点で$\overline{AC}$をカットするまで$\overline{BP}$を延長します。 $x = PB$、$y = PC$、$t = PQ$、$b^{\prime} = AQ$、$b^{\prime\prime} = QC$($b^{\prime} + b^{\prime\prime} = b$も含む)とする。三角形 $ABQ$ と $PQC$ の三角不等式により、次のようになります。

$$c + b^{\prime} > x + t \quad\text{e}\quad t + b^{\prime\prime} > y.$$

追加: $c + b^{\prime} + b^{\prime\prime} + t > x + y + t$、つまり $c + b > x + y$: $PB + PC < AB + AC$。

126

$P$ が三角形 $ABC$ と $x = PA$、$y = PB$、$z = PC$ の内点である場合、$x + y + z$ が三角形の半周と外周の間にあることを示します。

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前の演習を 3 回実行し (加算、$2(x + y + z) < 2p$)、三角形 $PAB$、$PBC$、$PCA$ の三角不等式を実行します (加算、$2(x + y + z) > a + b + c$)。

127

図の三角形$MNP$の周囲長が三角形$ABC$の周囲長よりも小さいことを示します。

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三角形 $APN$、$BPM$、$MNC$ を考えて、それぞれに三角不等式を適用します。

128

$m_a$ が辺 $a$、$b$、および $c$ を持つ三角形の辺 $a$ に対する中央値の場合、$m_a < \dfrac{b + c}{2}$ になります。

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$\triangle ACA^{\prime}$ について考えます。ここで、$A^{\prime}$ は $\overline{BC}$ の中点に関して $A$ と対称です: $AA^{\prime} = 2m_a$、$CA^{\prime} = c$。次に$2m_a < b + c$と$2m_a > |b - c|$。

129

三角形の中央値の合計が周囲長より小さく、半周長より大きいことを証明します。

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3 つの中央値に対する前の結果を使用し、それらを合計します。他の不等式については、重心 によって形成される三角形の三角不等式を使用します。