前回の投稿では、Bhãskara が 2 次方程式を解くために使用した手法を示しました。 15 世紀から 17 世紀にかけて多くの数学者が 2 次方程式のさまざまな形式を開発しました。そのうちの 1 人はフランソワ ヴィエット (1540-1603) でした。
フランソワ・ビエテによる提案
François Viète は、Bhãskara からインスピレーションを得て、共有スカーフ手法を使用しました。これについては、次のトピックで説明します。
| フランソワ・ビエテ |
|
François Viète が研究したトピックの一部からの抜粋。
| 年 |
著者 |
記事 |
表記 |
| 1593 |
フランシス・ビエタ |
|
$$1x^3 + 30x^2+44x = 1560$$ |
現代の手法のデモンストレーション
ここでは注目商品や面積などの特徴を使っていきます。次の式を 2 次とします。
$$ax^2 + bx+ c =0$$
最初のステップは $x^2$ を分離することです。これにはスケールを使用します。
$$
\begin{aligned}
(ax^2 + bx+ c) \color{red}{\div a} &=0 \color{red}{\div a}\\
x^2 + \dfrac{b}{a}x+ \dfrac{c}{a} \color{red}{- \dfrac{c}{a}} &= 0 \color{red}{- \dfrac{c}{a} }\\
x^2 + \dfrac{b}{a}x &= -\dfrac{c}{a} \\
\end{aligned}
$$
さて、下のクロス表の乗算結果である幾何学図形に従って、両辺に$\dfrac{b^2}{4a^2}$を足してみましょう。
$$
\begin{aligned}
x^2 + \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b}{2a}x \color{red}{+\dfrac{b^2}{4a^2} } &= \color{red}{+\dfrac{b^2}{4a^2} } -\dfrac{c}{a}\\
\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2 &= \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} \\
x+\dfrac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} }\\
x+\dfrac{b}{2a} \color{red}{- \dfrac{b}{2a} } &= \color{red}{- \dfrac{b}{2a} } \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} } \\
x &= - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac } }{2a} \\
\end{aligned}
$$
人はそれを$\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac }$と呼びます。これにより、次が得られます。
$$
\begin{aligned}
x &= \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\end{aligned}
$$
したがって、私たちはしなければなりません
$$
\begin{aligned}
x &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\text{ou} & \\
x &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\end{aligned}
$$
例 1
次の式は、バースカラの時代に使用されていた商品の分割を表します。
現在の条件では次のようになります。
$$x^2+10x -39 = 0$$
$$
\begin{aligned}
\Delta &=b^2 - 4ac \\
&= 10^2 - 4~.~1 ~.~ (-39) \\
&= 100 + 156\\
&= 256\\
\end{aligned}
$$
したがって、私たちはしなければなりません
$$
\begin{aligned}
x &= \dfrac{-10 + \sqrt{256} }{2} = 3 \\
\text{ou} & \\
x &= \dfrac{-10 - \sqrt{256} }{2} = -13\\
\end{aligned}
$$
前回の記事で詳しく計算してみました。
この例は資産の共有に関するものであることを覚えておく価値があります。この場合、負の値はこのアプリケーションにとって意味がありません。ただし、他の場合には、他の解決策を使用できます。
財産
カルダノ ビエテの定理: 方程式を $ax^2 + bx+ c =0$ の形式とし、$a\neq 0,$ に実数根 $x_1$ および $x_2$ を持ちます。それで、私たちは持っています
$$\text{Soma} = S = x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a}$$
$$\text{Produto} = P = x_1 ~.~ x_2 = \dfrac{c}{a}$$
デモ:
方程式の根を次のようにします。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} \\
x_2 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\end{aligned}
$$
根の合計は次のように求められます。
$$
\begin{aligned}
S &= x_1+x_2 \\
&= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} + \left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}\right) \\
&= \dfrac{-2b}{2a} \\
&= \dfrac{-b}{a} \\
\end{aligned}
$$
根の積は次のように与えられます。
$$
\begin{aligned}
P &= x_1 ~.~ x_2 \\
&= \left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}\right) ~.~ \left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}\right) \\
&= \dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} \\
&= \dfrac{b^2 - -b^2 + 4ac}{4a^2} \\
&= \dfrac{c}{a} \\
\end{aligned}
$$
$\square$
例 2
方程式の根の和と積は何ですか
$$2x^{2}-3x-6=0$$
方程式の根は必要ありません。
解決策:
$$S=x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}={\frac {-(-3)}{2}}={\frac {3}{2}}$$
$$P=x_{1}~.~x_{2}={\frac {c}{a}}={\frac {-6}{2}}=-3$$
判別分析
定義 (判別式): $\Delta=b^{2}-4ac$ という項は判別式と呼ばれます。
方程式を $ax^2 + bx+ c =0$ の形式にし、$a\neq 0,$ とします。
結果:
- $\Delta >0$ 2 つの実際の別個のルートがあります。
- $\Delta =0$ 実数の等しい根が 2 つあります。
- $\Delta <0$ 本当のルートはありません。
例 3
$m$ の値は次のようになります。
$$2x^{2}+x+m=0$$
そのため、それは本物の明確なルーツを持ちます。
解決策:
この場合、
$$\Delta =b^{2}-4ac>0$$
それから
$$
\begin{aligned}
(1)^{2}-4(2)(m) &> 0 \\
1-8m &> 0 \\
m &< \dfrac{1}{8} \\
\end{aligned}
$$
例 4
$m$ の値は次のようになります。
$$x^{2}+mx+4=0$$
そのため、それは真の平等な根を持つようになります。
解決策:
この場合、
$$\Delta =b^{2}-4ac=0$$
それから
$$
\begin{aligned}
(m)^{2}-4(1)(4) &= 0 \\
m^2-16 &= 0 \\
m &= \pm 4 \\
\end{aligned}
$$
例 5
$m$ の値は次のようになります。
$$mx^{2}+2x+3=0$$
つまり、彼女には本当のルーツはありません。
解決策:
この場合、
$$\Delta =b^{2}-4ac=0$$
それから
$$
\begin{aligned}
(2)^{2}-4(m)(3) &< 0 \\
m &> \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned}
$$
これらは二次方程式の結果です。次の投稿をお待ちください。
