Euler's Eyes
2026-10-11
四角形 — 定義と要素
4 つの辺、4 つの頂点、2 つの対角線。四角形は敷地、スクリーン、テーブル、窓にあります。
発見者
土地の四辺の面積を計算することは、エジプトとメソポタミアの書記官の仕事でした。エジプトのエドフ神殿（紀元前2世紀）の碑文には、4面の区画の面積に関する規則、すなわち、向かい合う2つの面の平均に他の2つの面の平均を掛けるという規則が記録されています。このルールは長方形の場合にのみ正確であり、他の場合には面積を過大評価します。幾何学的な定義 — 4 本の直線で制限された図形 — はユークリッド に由来します (原論 の定義 I.19)。
歴史
エドフの財産は寺院への寄付であり、形が不規則でした。筆記者のルールは実用的で、ほぼ長方形の地形に対して妥当な値を与えましたが、限界が示されました。角度と対角がなければ、4 つの辺は四角形を決定しません。同じ 4 つのバーのフレームは、正方形または平らなひし形になることがあります。
ギリシャ人は四角形を対角線で２つの三角形に分割することで問題を解決しました。 7 世紀、 インドのブラフマグプタ は、4 つの辺だけを使って円に内接する四角形の面積の正確な公式を発見しました。
日常生活での応用
- 都市用地。 聖書には土地が 4 つの側面と角度で描かれています。面積は敷地を三角形に分割して計算されます。
- ゲートと棚。 ヒンジ付きバーの四角形が変形します。対角線（「フレンチハンド」のような）がそれを止めます。
- 凧 多くの凧は、2 組の連続した等しい辺 (三角筋) を持つ四角形です。
- 画面とシート A4 用紙、カード、携帯電話の画面は直角の四角形です。
出典: 要素、定義 I.19 · エジプト数学 (MacTutor) · ブラフマグプタ (MacTutor)。
理論と作図
定義四角形
$A$、$B$、$C$、および $D$ を同じ平面上の 4 つの点とし、すべて別個であり、3 対 3 が同一線上にありません。線分 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ が端部のみで交差する場合、 それらの会合は四角形になります。
$$ABCD = \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}.$$セグメントは側面です。 $\hat{A} = D\hat{A}B$、$\hat{B} = A\hat{B}C$、$\hat{C} = B\hat{C}D$、$\hat{D} = C\hat{D}A$ は角度です。 $\overline{AC}$と$\overline{BD}$ は対角線です。四角形は凸型でも凹型でも構いません。
四角形には2 個の対角線があります。内角の合計は $360^{\circ}$ (対角線で 2 つの三角形に分割されます)、外角の合計も $360^{\circ}$ です。