1637 年ごろ、ピエール・ド・フェルマーはある本の余白に、$n$ が 2 より大きいとき方程式

$$x^n+y^n=z^n$$

は正の整数の解をもたない、そしてそのすばらしい証明を見つけたが、この余白はせますぎて書けない、と書きこみました。これがフェルマーの最終定理です。彼の証明を見つけた人はおらず、問題は 1994 年にアンドリュー・ワイルズによってようやく解かれました。

1800 年までの状況はささやかなものでした。フェルマーが $n=4$ の場合を、オイラーが $n=3$ の場合を証明していました。素数の指数 $n=p$ だけを調べれば十分でしたが、素数ごとに専用の技法が必要で、3 より先に進めた人はいませんでした。ソフィー・ジェルマンは、無限に多くの指数について一度に何かを証明した最初の人でした。

二つの場合

ソフィーは問題を二つに分けました。解 $x^p+y^p=z^p$ があったとします。三つの数 $x$、$y$、$z$ のどれも $p$ の倍数でない場合、今日いう第一の場合と、どれかが $p$ の倍数である第二の場合です。彼女の定理は第一の場合をあつかいます。

ソフィー・ジェルマンの定理。 $p$ が奇素数で $2p+1$ も素数なら、どれも $p$ の倍数でない整数 $x, y, z$ で $x^p+y^p=z^p$ となるものは存在しない。

$2p+1$ も素数になる素数 $p$ は、今日ソフィー・ジェルマン素数と呼ばれています。$3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, \ldots$

p = 5 で見る考え方

$p=5$、つまり $2p+1=11$ の場合で、証明の核心を見てみましょう。$x^5+y^5=z^5$ だとします。すべてを 11 を法として見ます。ガウスへの手紙で見たように、11 を法とする 5 乗は $0$、$1$、$-1$ のどれかにしかなりません。

三つのどれも 11 の倍数でなければ、三つの 5 乗はどれも $\pm1$ です。ところが二つの $\pm1$ の和は $-2$、$0$、$2$ のどれかで、そのどれも 11 を法として $\pm1$ ではありません。

$$\pm1\pm1\in\{-2,\,0,\,2\}\not\ni\pm1\pmod{11}.$$

したがって $x$、$y$、$z$ のどれか一つは 11 の倍数でなければなりません。これが第一段階です。第二段階でソフィーは因数分解

$$z^5-y^5=(z-y)\left(z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4\right)$$

とほかの合同式を使い、11 がどれかをわり切るなら、5 もどれかをわり切らなければならないことを示します。これは第一の場合の仮定に矛盾するので、解は存在しえません。

$2p+1$ の役割は、$p$ 乗がとても貧しくなって方程式が不可能になる、補助の素数であることです。ソフィーはほかの補助素数も使えることに気づき、それらを使って、100 未満のすべての素数について第一の場合を確かめました。ルジャンドルはその確認を 197 まで広げました。

ソフィーのあと

彼女が開いた道は、1825 年に $n=5$ の場合を証明したディリクレとルジャンドル、1839 年に $n=7$ を証明したラメに引きつがれました。19 世紀なかば、エルンスト・クンマーは「正則な」素数すべてを一度に片づけました。1994 年のワイルズの完全な証明はまったくちがう考えを使いましたが、ソフィー・ジェルマンの定理は、この問題についての最初の一般的な結果として引用されつづけています。

練習問題：p = 3、2p + 1 = 7 を使って、x³ + y³ = z³ ならどれかが 7 の倍数であることを示せ

7 を法として、立方数は $0$、$1$、$6\equiv-1$ のどれかにしかなりません。どれも 7 の倍数でなければ、$\pm1\pm1\equiv\pm1\pmod 7$ となるはずです。しかし $\pm1\pm1$ は $-2\equiv5$、$0$、$2$ にしかならず、どれも $1$ でも $6$ でもありません。したがって 7 は $x$、$y$、$z$ のどれかをわり切ります。

練習問題：100 未満の素数のうち、ソフィー・ジェルマン素数はどれか？

それぞれの素数 $p$ について $2p+1$ を調べます。$2\to5$、$3\to7$、$5\to11$、$11\to23$、$23\to47$、$29\to59$、$41\to83$、$53\to107$、$83\to167$、$89\to179$ はどれも素数です。ほかは、たとえば $7\to15$、$13\to27$ のように失格です。全部で 10 個、$2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89$ です。

出典： Reinhard Laubenbacher and David Pengelley, “‘Voici ce que j’ai trouvé’: Sophie Germain’s grand plan to prove Fermat’s Last Theorem”, Historia Mathematica（2010）· ソフィー・ジェルマンの伝記、MacTutor · Harold M. Edwards, Fermat’s Last Theorem（1977）。

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