このサイトの以前の記事は、この話題を一つの冗談から始めていました。二つの等しい数 $a=b$ をとり、害のなさそうな計算をしてみます。

$$\begin{aligned} a&=b\\ a^2&=ab\\ a^2-b^2&=ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=b(a-b)\\ a+b&=b\\ 2b&=b\\ 2&=1. \end{aligned}$$

まちがいはどこでしょうか。四行目から五行目に移るとき、両辺を $a-b$ でわりました。でも $a=b$ なので $a-b=0$ で、ゼロでわってしまったのです。書き方が罪を隠しています。$a-b$ はふつうの数のように見え、最初の行を覚えている人だけが、それがゼロだと気づくのです。変装したゼロでのわり算は、数学者が不定形と呼ぶもの、有名な $\frac00$ のいちばん簡単な形です。

微積分が残した問題

ニュートンとライプニッツの微積分は、ゼロであると同時にゼロでない量に支えられていました。$x^2$ を微分するのに、ライプニッツは $\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx$ を計算し、それから $dx$ をゼロであるかのように「無視」しました。けれども $dx$ がゼロなら、二行前でそれでわることはできなかったはずです。うまくいくのに、なぜなのかだれにも説明できませんでした。

1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』という激しい攻撃文を出版しました。宗教的な信仰をあざ笑いながら、それよりはるかに奇妙なものを信じている「不信心な数学者たち」に向けたものです。

では、この流率とは何か。消えゆく増分の速さである。では、その消えゆく増分とは何か。それは有限の量でも、無限に小さい量でも、無でもない。それを死んだ量の亡霊と呼んではいけないだろうか。

— ジョージ・バークリー『解析家』（1734）

バークリーは論理については正しく、微積分についてはまちがっていました。計算はうまくいっていました。欠けていたのは、それが何をしているのかを言う言語だったのです。

コーシー：到達せずに近づく

その言語はフランスからやってきました。1821 年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーはエコール・ポリテクニークの『解析教程』を出版し、中心となる考えを言葉で定義しました。

同じ変数に次々と与えられる値が、ある固定された値に限りなく近づき、ついにはそれとの差を望むだけ小さくできるとき、その固定された値を、ほかのすべての値の極限と呼ぶ。

— オーギュスタン＝ルイ・コーシー『解析教程』（1821）

秘密は「望むだけ小さく」にあります。$dx$ は決してゼロにはならず、いくらでも近くにとどまるのです。数十年後、ドイツのカール・ヴァイエルシュトラスはこの文を文字に置きかえました。どんなに小さくても、あらゆる誤差の幅 $\varepsilon>0$ に対して、近さを保証する距離 $\delta>0$ が存在する。これが有名な「イプシロン・デルタ」の定義で、今でも大学一年生を恐れさせています。

$$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=L\iff{}&\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\\ &0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\end{aligned}$$

記号 $\forall$（すべての）と $\exists$（存在する）に注目してください。論理学の記事でくわしく見ることになりますが、推論の書き方が微積分のために使われているのです。無限に小さいものは、ものであることをやめ、約束になりました。どんな $\varepsilon$ でもいい、言ってくれれば $\delta$ を見つけてみせる、という約束です。

lim、矢印、そしてそれらが隠すもの

記法にも時間がかかりました。1786 年、スイスのシモン・リュイリエが「極限」の略記としてピリオドつきの lim. を書きました。lim の下の小さな矢印 $x\to a$ が広まったのは 20 世紀のはじめで、おもにイギリスの G・H・ハーディの本『純粋数学教程』（1908）のおかげでした。最終的な書き方は、簡潔で生きています。

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.$$

矢印は、等号では言えないことを言っています。$x$ は $2$ に近づくけれど、決して $2$ にはならない。だから、途中で一度もゼロにならない $x-2$ を約分しても、$1=2$ の証明の罪を犯したことにはならないのです。二つの計算のちがいは、すべてこの矢印にあります。

練習問題：矢印のおかげで約分する

$\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^3-3x^2}{x-3}$ を計算します。分子を因数分解すると $x^3-3x^2=x^2(x-3)$。$x\to3$ で、$x$ は決して $3$ にならないので、約分できます。

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to3}x^2=9.$$

そのまま代入すると $\frac00$、不定形になります。等号なら禁じる約分を、矢印が許しているのです。

練習問題：数 e の親せき

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{2x}$ を計算します。累乗の性質を使って書き直すと

$$\left(1+\frac1x\right)^{2x}=\left[\left(1+\frac1x\right)^{x}\right]^2\ \longrightarrow\ e^2.$$

書き方が、新しい極限の中に隠れた、よく知っている極限を見せてくれます。

出典： Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981）· Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Augustin-Louis Cauchy, MacTutor · George Berkeley, MacTutor。

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