Euler's Eyes
2026-10-11
接線セグメント - 外接する四角形
円の外側の点から2つの接線が出ており、その接点までの2つの線分は同じ長さになります。
発見者
接線セグメントの等価性は、外部点を通る接線の引き方を教えるユークリッドの原論の命題III.17の直接の結果です。ここから、 内接円を持つ四角形では対辺の和は等しいというピトーの定理が生まれます。フランスの技術者アンリ・ ピトー は、1725 でそれを発表しました (彼に関する好奇心については以下を参照)。この逆数 — 向かい合う辺の和が等しい場合、四角形は内接円周を持ちます — は 19 世紀に証明され、 通常はヤコブ シュタイナー によるものと考えられています。
歴史
ピトーの定理の証明は、単純な性質がどのように多くの成果をもたらすかを示す良い例です。四角形の各頂点は円の外側の点であり、2 つの等しい接線セグメントを持っています。反対側を加算すると、各セグメントは各合計に 1 回だけ表示されます。
ピトーは職業的に数学者ではありませんでした。油圧工学者である彼は、フランス南部に水道橋と橋を建設し、 液体や気体の速度を測定し、現代の飛行機の動力にもなるピトー管を発明しました。
日常生活での応用
- ベルトとプーリー 2 つのプーリーを包むベルトの直線部分は車輪に接しています。等しいプーリーでは、同じ長さになります。
- 自転車チェーン クラウンに接するように出発し、ラチェットに接するように到着します。
- 灯台の眺め 灯台の頂上から、丸い島に接する 2 つの視線は、その接点までの長さが同じです。
- 飛行機の速度 ピトー管は、定理と同じ技術者によって発明された、空気に対する飛行機の速度を測定するセンサーです。
出典: 要素、命題 III.17 · アンリ ピトー (Wikipedia) · シュタイナー (MacTutor)。
理論と作図
定理接線セグメント
点 $P$ から、円に接するセグメント $\overline{PA}$ と $\overline{PB}$ を駆動し、その円上に $A$ と $B$ を配置すると、$PA = PB$ になります。また、中心は角の二等分線の$A\hat{P}B$にあります。
デモ。 三角形 $PAO$ と $PBO$ は、$A$ と $B$ (接線 ⊥ 半径) の長方形で、$OA = OB$ (カテーテル) と $\overline{OP}$ が共通 (斜辺) です。特殊な場合があるため、これらは一致しています: $PA = PB$。
定理外接四角形 (ピトーの定理)
凸四角形は、その4つの辺が円に接する場合、 円に外接されます。
a) 凸四角形が円に外接する場合、 その向かい合う2辺の和は他の2 辺の和に等しい$AB + CD = AD + BC$となります。
b) 逆数: 凸四角形 $AB + CD = AD + BC$ の場合、外接可能です。
したがって、 この等式は凸四角形が外接するための必要十分条件となります。
デモを見る
a) $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ の接点を $X$、$Y$、$Z$、$T$ とします。接線セグメント $AX = AT$、$BX = BY$、$CZ = CY$、$DZ = DT$ を経由します。追加: $AX + BX + CZ + DZ = AT + BY + CY + DT$、つまり $AB + CD = AD + BC$。
b) $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$ に接する円を $\lambda$ とします。 $ABCD$ が囲まれていない場合は、$CD$ 行に $X$ があり、$\lambda$: $AB + CX = BC + AX$ (1) に囲まれた $ABCX$ が存在します。仮説から$AB + CX \pm XD = AD + BC$、つまり$AB + CX = AD + BC \mp XD$(2)となります。 (1) と (2) から、$AX = AD \mp XD$ — 三角形 $ADX$ (三角不等式) では不合理です。
