記号 ∞ の知られている最初の使用。ジョン・ウォリスの『円錐曲線論』（1655）。本文の中ほどに「esto enim ∞ nota numeri infiniti」、∞ を無限の数の記号とせよ、とある。その二行上では、各平行四辺形の高さが全体の高さの 1/∞ とされている。
記号 ∞ の知られている最初の使用。ジョン・ウォリスの『円錐曲線論』（1655）。本文の中ほどに「esto enim ∞ nota numeri infiniti」、∞ を無限の数の記号とせよ、とある。その二行上では、各平行四辺形の高さが全体の高さの 1/∞ とされている。John Wallis · Wikimedia Commons · パブリックドメイン

1655 年、オックスフォードの教授だったイギリスのジョン・ウォリスは、平面図形を無限に多くのごく薄い平行四辺形に分けた。それぞれの高さは、全体の高さの無限に小さな一部である。その一部を書くために無限を表す記号が必要になり、彼はそれを発明した。

すなわち、∞ を無限の数の記号とせよ。

— ジョン・ウォリス『円錐曲線論』（1655）

そして各平行四辺形の高さを $\frac1\infty$ と書いた。彼がこの形をどこから得たのかは、確かにはわかっていない。よく挙げられる二つの仮説は、千を表し「たくさん」の意味でも使われたローマ数字 CIↃ の変形と、ギリシア文字の最後の文字、すべての終わりである小文字のオメガ $\omega$ である。

数のような顔をした記号

$\infty$ の困ったところは、数のように見えることである。ほかの数と同じ行に並び、横に演算記号を置くことができ、分数にも入る。そして、それが意味のない計算へと誘う。$\infty$ が数なら $\infty-\infty=0$ のはずである。ところが

$$\lim_{x\to\infty}\big((x+1)-x\big)=1,\qquad\lim_{x\to\infty}(2x-x)=\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}(x-2x)=-\infty.$$

三つの計算のどれでも、二つの項は無限大に向かうのに、結果はそれぞれ違う。だから $\infty-\infty$ は不定形と呼ばれる。値を決めるのは書き方ではなく、それぞれの部分が増える速さである。$\frac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$、$\frac00$ も同じである。

極限の ∞ は方向である

$x\to\infty$ と書くとき、$\infty$ は $x$ がたどり着く場所ではない。「$x$ が止まることなく大きくなる」という方向である。

$$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$

という文は、$\frac1\infty=0$ と言っているのではない。$x$ が十分大きければ、$\frac1x$ は望むだけゼロに近くなる、と言っているのである。第1章では、コーシーとワイエルシュトラスが無限を数として使わずにこれをどう書いたかを語った。アリストテレスはこの種の無限を可能的と呼んだ。いつまでも続けられるが、けっして完了しない過程である。

ジョン・ウォリス（1616–1703）。オックスフォードの幾何学教授で、イギリス議会の暗号解読者でもあった。ゴドフリー・ネラーの原画にもとづく肖像。
ジョン・ウォリス（1616–1703）。オックスフォードの幾何学教授で、イギリス議会の暗号解読者でもあった。ゴドフリー・ネラーの原画にもとづく肖像。Godfrey Kneller の原画にもとづく · Wikimedia Commons · パブリックドメイン

大きさをもつ無限

19 世紀の終わり、ゲオルク・カントールはアリストテレスが禁じたことをした。無限集合を完結した対象として扱い、その大きさを比べたのである。自然数の集合と偶数の集合は、一対一に組み合わせられる（$n\leftrightarrow2n$）ので、同じ大きさである。実数の集合はもっと大きい。それは、歴史の本のチューリングの章が計算可能数について使っている対角線論法が示している。

こうした完結した無限に、カントールはウォリスの $\infty$ を使わなかった。ヘブライ文字の最初の文字、アレフという新しい文字を選んだ。$\aleph_0$ は自然数の集合の大きさである。この選択は記号論的である。$\infty$ はすでに「終わりがない」という考えと結びついていて、新しい無限は別のもの、独自の算術をもつ本物の数だった。今日では二つの記号が並んで使われ、一方は方向としての無限を、もう一方は量としての無限を表している。

練習：半分になる ∞ − ∞

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ を計算せよ。

二つの項はどちらも無限大に向かう。共役な式をかけて割ると

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}.$$

$x\to\infty$ のとき、これは $\frac1{1+1}=\frac12$ に近づく。値が $\frac12$ の $\infty-\infty$ である。

練習：二つの違う ∞/∞

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+1}$ と $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1}$ を計算せよ。

どちらも分子と分母が無限大に向かう。一つめは $\frac{x}{x+1}=\frac1{1+1/x}\to1$。二つめは $\frac{x^2}{x+1}=\frac{x}{1+1/x}\to\infty$。同じ形 $\frac\infty\infty$ が、一方では $1$、もう一方では $\infty$ になった。

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