関係を理解する

関係の概念は、実数の関数の概念の出発点です。さらに、順序対、デカルト積、デカルト平面自体の概念。この概念に貢献した主要な数学者の 1 人は、ユリウスヴィルヘルムリチャールデデキントでした。

デデキントへの追悼

今日の受賞者は、ユリウス・ヴィルヘルム・リチャール・デデキントです。彼は、ドイツのブラウンシュヴァイクに住むルーテル派の家族の 4 人の子供の 1 人でした。

彼は 19 歳でゲッティンゲンで博士号を取得し、22 歳で博士号を取得しました。ディリクレの生徒であった彼は、晩年までブランズウィックで中等教育を教えた。彼は関数と数の性質に非常に関心を持っていました。このように、彼は微積分を教えた 1858 以来、無理数の問題に焦点を当ててきました。

順序ペア

定義: 順序ペアは、それぞれ座標 $x$ および $y$ を持つペア $(x,y)$ によって形成される 2 つの数値です。

セットの等価性の概念から、要素の順序を逆にしても新しいペアは生成されないことがわかります。

$\\{1,2\\} = \\{2, 1\\},$
$\\{3, -1\\} = \\{-1, 3\\}$
$\\{a, b\\} = \\{b, a\\}.$

数学では、2 つのものを区別する必要がある状況があります。要素の順序でペアになります。

たとえば、連立方程式では次のようになります。

$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \\ \end{cases} $$

この場合、$x = 2$ と $y = 1$ がこの連立方程式の解になります。ただし、$x = 1$ と $y = 2$ の場合、これは解決策ではありません。

セットの場合、解決策は次のようになります。

$\\{2, l\\}$ が解決策となります。
$\\{1, 2\\}$ は解決策ではありません。

$\\{2, 1\\} = \\{1, 2\\}$ であるため、同じ集合は解決策であり、解決策ではないため、矛盾があります。

このため、解は順序ペア $(2, 1)$ であると言います。ここでは次のことが理解されます。

最初の要素 $2$ は未知の $x$ を参照し、
2 番目の要素 $1$ は未知の $y$ を参照します。

順序ペアの概念によれば、次のようになります。

$$(a,b)=(c,d) \quad \text{se, e somente se}\quad a=c \quad \text{ e } \quad b=d$$

デカルト平面座標

定義: 横軸は水平の数直線であり、$x$ 軸の座標と呼ばれます。

定義: 縦数は垂直の数直線であり、これを軸座標 $y$ と呼びます。

象限

順序付きペアを定義した後の次のステップは、これらのペアを分類することです。反時計回りに、象限と呼ばれるこれらのペアを分類できます。このようにして、次の象限ができます。

1。 第 1 象限: 順序ペア $(x,y)$ 両方とも正 2。 第 2 象限: 順序ペア $(-x,y)$ 負の横座標 > と正の縦座標 3。 第 3 象限: 順序ペア $(-x,-y)$ 両方とも負 4。 第 4 象限: 順序ペア $(x,-y)$ 正の横座標と負の縦座標

デカルト積

デカルト積の概念を調べるために、集合を考えてみましょう。

$A = \\{2, 3, 4\\}$
$B = \\{2, 3, 4, 5, 6\\}$

$A$×$B$の直積が集合です

$$A \times B = \\{(x, y); x\in A \text{ e } y \in B \\}$$

$A\times B$: $A$ と $B$ のデカルト積
$(x,y)$: 座標を持つ順序ペア:
- $x$ 横軸という座標
- $y$ 座標が指定されたものと呼ばれます
次のような:
- $x \in A$: $x$ は $A$ に属します
- $y \in B$: $y$ は $B$ に属します

次にアロー図で示します。

図に示す $3 ~·~ 5 = 15$ 個の要素で構成されます。 $x | y$ となるような $(x, y)$ と $A \times B$ の順序ペアのセット。$x$ は $y$ の約数です。

二項関係

前のセクションのデカルト平面。約数 $x | y$ で与えられます。このように、$A$ と $B$ の要素間の関係は次のようになります。

$$ \begin{aligned} \mathcal{R} &= \{(x,y)\in A \times B; ~~ x|y\}\\ &= \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)\} \end{aligned} $$

集合$\mathcal{R}$は$A \times B$に含まれており、$A$の要素$x$が特定の「関係」または「対応」基準を通じて$B$の要素$y$と「関連付けられている」ペア$(x, y)$によって形成されます。

二項関係を視覚的に表すために、アローダイアグラムを使用します。

定義 (二項関係): 集合を $A$ と $B$ とすると、$B$ の $A$ の二項関係 はすべて $A \times B$ の部分集合 $\mathcal{R}$ です。

$\mathcal{R}$は$B$ $\iff \mathcal{R} \subseteq A\times B$の$A$の二項関係です

注: 約数の 2 進比 $x|y$ は、デカルト積 $A\times B$ のサブセットであることに注意してください。

ペア$(x,y)$がリレーション$\mathcal{R}$に属する場合、$x \mathcal{R} y$と書きます。

$$(x,y) \in \mathcal{R} \quad \iff \quad x \mathcal{R} y$$

これらは関係の概念です。次の投稿をお待ちください。

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