発見をチェックしてください

各列の合計は 16 になります。 5 つの列の合計は 80 ですが、シーケンスを 2 回カウントします。その合計は40です。一般に、n が奇数の場合でも、2Sₙ = n(a₁ + aₙ) です。

前回の投稿では、等差数列の歴史と考え方について少しお話しました。この投稿では、この概念についてさらに詳しく説明します。

等差数列

1 から 5 までのマス目で、3、5、7、9 が変化します。
PA と比較してください。パターンを認識しても、一定の比率が保証されるわけではありません。

定義:

等差数列 (A.P.) は、次の式で与えられる数列と呼ばれます。 漸化式:

$$ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n} = a_{n-1} + r, \text{ para todo } n \in\mathbb{N}, n\geq 2 \end{cases} $$

ここで、$a$ と $r$ には実数が与えられます。

したがって、A.P. は、2 番目から始まる各用語が 指定された定数 $r$ を使用した前の値の合計。

以下に等差数列の例をいくつか示します。

$$f_1 = (1, 3, 5, 7, 9, \dots) \text{ onde } a_1= 1 \text{ e } r = 2$$

$$f_2 = (0, -2, -4, -6, -8, \dots) \text{ onde } a_1 = 0 \text{ e } r = -2$$

$$f_3 = (4, 4, 4, 4, 4, \dots) \text{ onde } a_1= 4 \text{ e } r = 0$$

$$f_4 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2}, \dots) \text{ onde } a_1 = \frac{1}{2} \text{ e } r = 1$$

$$f_5 = (4, \frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3, \frac{8}{3}, \dots) \text{ onde } a_1 = 4 \text{ e } r = -\frac{1}{3}$$

分類

比率 3、0、マイナス 2 を持つ 3 つの数列。
比率を使用して分類します。定数の場合を正当化します。

等差数列は次の 3 つのカテゴリに分類できます。

  1. 三日月は、各項が前の項よりも大きくなる A.P. です。そして 次の理由により、これが $r > 0$ の場合にのみ発生することは明らかです。
$$a_n > a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} > 0 \Leftrightarrow r > 0$$

例: $f_1$ と $f_4$。

  1. 定数 は、各項が前の項と等しい A.P. です。見やすいです これは、$r = 0$ の場合にのみ発生します。理由は次のとおりです。
$$a_n = a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} = 0 \Leftrightarrow r = 0$$

例: $f_3$。

  1. 減少とは、各期間が前の期間よりも小さくなる A.P. です。これは、$r < 0$ の場合にのみ発生します。理由は次のとおりです。
$$a_n < a_{n-1} \Leftrightarrow a_n - a_{n-1} < 0 \Leftrightarrow r < 0$$

例: $f_2$ と $f_5$。

特別な表記

PAを取得しようとするときは、 3、4、または 5 用語を使用すると、非常に実用的です 次の表記:

  1. 3 用語の場合: $(x, x + r, x + 2r)$ または $(x - r, x, x + r)$
  2. 4 用語の場合: $(x, x + r, x + 2r, x + 3r)$ または $(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)$、 ここで$y = \frac{r}{2}$
  3. 5 用語の場合: $(x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r)$ または $(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)$

練習問題: $(x, 2x + 1, 5x + 7)$ が PA となるように $x$ を決定します。

解決策

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ があるはずです。それから：

$$(2x + 1) - x = (5x + 7) - (2x + 1) \quad\Rightarrow\quad x + 1 = 3x + 6 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{2}$$

練習問題: $(a^2, (a + 1)^2, (a + 5)^2)$ が PA となるように $a$ を決定します。

解決策

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$、つまり $2a_2 = a_1 + a_3$ が必要です。それから：

$$2(a + 1)^2 = a^2 + (a + 5)^2 \quad\Rightarrow\quad 2a^2 + 4a + 2 = 2a^2 + 10a + 25 \quad\Rightarrow\quad -6a = 23 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{23}{6}$$

練習問題: 和が 24、積が 440 となる 3 つの項の A.P. を求めます。

解決策

P.A. に特別な表記法 $(x - r, x, x + r)$ を使用すると、次のようになります。

\begin{ケース} (x-r) + x + (x+r)=24 \quad (*)\\ (x-r) ~.~ x ~.~ (x+r)=440 \quad (**) \end{ケース}

(*) から $3x = 24$、つまり $x = 8$ が得られます。 (**) を置き換えると、次のようになります。

$$(8 - r) ~.~ 8 ~.~ (8 + r) = 440 \quad\Leftrightarrow \quad 64 - r^2 = 55 \quad\Leftrightarrow\quad r^2 = 9 \quad\Leftrightarrow\quad r = \pm 3$$

したがって、PA。求められるのは:

$(5, 8, 11)$～$x = 8$と$r = 3$、または$(11, 8, 5)$～$x = 8$と$r = -3$。

一般項式

シーケンス 2、5、8、11、14 のグラフ点。
ポジションは当然ポジティブです。シーケンス グラフに別々の点があるのはそのためです。

PA が使用する漸化式を使用します。定義され、仮定されています 目的の項の最初の項 ($a_1$)、比率 ($r$)、およびインデックス ($n$) が与えられると、次のようになります。

\begin{eqnarray*} a_2 &=& a_1 + r \\ a_3 &=& a_2 + r \\ a_4 &=& a_3 + r \\ &\vdots& \\ a_n &=& a_{n-1} + r \end{eqnarray*}

これらの $n-1$ 等式を追加すると、次のようになります。

\begin{eqnarray*} \underbrace{ \color{red}{a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{n-1} } }_{\text{cancel} } + a_n = a_1 + \underbrace{ \color{red}{a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{n-1} } }_{\text{cancel} } + (n-1) ~.~ r \end{eqnarray*}

次に $a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r$、これは次のことを示唆しています。

定理

最初の項が $a_1$ で比率が $r$ である A.P. では、n 番目の項は次のようになります。

$$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r$$

有限帰納法による証明

I) $n = 1$ については、$a_1 = a_1 + (1-1) ~.~ r$ (真実の文) があります。

II) $n = p$ の式の妥当性を認めましょう。

$$a_p = a_1 + (p-1) ~.~ r \quad \text{(hipótese de indução)}$$

そしてそれが $n = p + 1$ にも当てはまることを証明します。

$$a_{p+1} = a_p + r = (a_1 + (p-1) ~.~ r) + r = a_1 + [(p + 1) - 1] ~.~ r$$

ということで、$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$。

演習

  1. 第一項が3、比率が5であるA.P.の第17項を計算します。

解決策

$a_1 = 3$ と $r = 5$ に注目して、一般項の式を適用してみましょう。

$$a_{17} = a_1 + 16r = 3 + 16 ~.~ 5 = 83$$
  1. 第 1 項を $-8$、第 20 項を $30$ としたときの A.P. の比を求めます。

解決策

$$a_{20} = a_1 + 19r \quad\Rightarrow\quad 30 = -8 + 19r \quad\Rightarrow\quad r = 2$$
  1. PAを取得する$a_{10} = 7$ と $a_{12} = -8$ です。

解決策

PAを書くには$a_1$と$r$を決定する必要があります。我々は持っています：

\begin{ケース} a_{10} = 7 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 9r = 7 \quad (*)\\ a_{12} = -8 \quad\Rightarrow\quad a_1 + 11r = -8 \quad (**) \end{ケース}

上記のシステムを解くと、次のようになります。

  1. $(**) - (*)$: $\ 2r = -15 \quad\Rightarrow\quad r = -\frac{15}{2}$
  2. $(*)$ 内: $\ a_1 + 9 ~.~ \left(-\frac{15}{2}\right) = 7 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{149}{2}$

したがって、PA。は$\left(\frac{149}{2}, \frac{134}{2}, \frac{119}{2}, \dots\right)$です。

最初の用語、理由、および必要な用語の数を選択します。ガウスのトリックをオンにして合計を確認します。

算術補間

5 から 17 までの 5 つの項。3 つの平均と 4 つの範囲があります。
3 を入力すると、4 の範囲が作成されます。このカウントを使用して比率を計算します。

すべての有限シーケンス $(a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, a_n)$ では、項 $a_1$ と $a_n$ は次のようになります。 をエクストリームと呼び、 それ以外をミドルと呼びます。したがって、PAでは、 $(0, 3, 6, 9, > 12, 15)$ 極値は $0$ と $15$、平均値は $3, 6, 9$ と $12$ です。

数値 $a$ と $b$ の間の $k$ 算術平均を補間、挿入、またはインターリーブします。 PAを取得することを意味します。極値 $a_1 = a$ および $a_n = b$ と $n = k + 2$ 項。 この PA の手段を決定するには、比率を計算する必要があります。これは次のように行われます。

$$a_n = a_1 + (n-1) ~.~ r \quad\Rightarrow\quad b = a + (k+1) ~.~ r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{b-a}{k+1}$$

例: 1 と 2 の間の算術平均 5 を補間します。

PAを作りましょう7 項で $a_1 = 1$ と $a_7 = 2$ を使用します。我々は持っています：

$$a_7 = a_1 + 6 ~.~ r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$$

それでPAはは

$$\left(1, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}, \frac{11}{6}, 2\right)$$

和

合計が 16 の 5 項 PA の極端なペア。
シーケンスを 2 つの順序で記述して、2Sₙ = n(a₁ + aₙ) を正当化します。

P.A. の初期項 $n$ の合計 $S_n$ を計算する式を導出してみましょう。

定理1

$n$ 個の最初の正の整数の合計は $\frac{n(n+1)}{2}$ です。

有限帰納法による証明

I) $n = 1$ については、$1 = \frac{1(1 + 1)}{2}$ (真実の文) があります。

II) $n = p$ の式の妥当性を認めましょう。

$$1 + 2 + 3 + \dots + p = \frac{p(p + 1)}{2}$$

そしてそれが $n = p + 1$ にも当てはまることを証明します。

$$1 + 2 + 3 + \dots + p + (p+1) = \frac{p(p + 1)}{2} + (p + 1) = \frac{p(p + 1) + 2(p + 1)}{2} = \frac{(p + 1)(p + 2)}{2}$$

次に$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$。

例: 正の整数列の 50 個の初項の合計は次のようになります。

$$1 + 2 + 3 + \dots + 50 = \frac{50(50 + 1)}{2} = 25 \times 51 = 1275$$

一般項の式を使用すると、P.A. の初期項 $n$ の合計 $S_n$ を計算できます。 $(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots)$。

定理2

すべてのPAであります: $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} ~.~ r$

デモ

\begin{ケース} a_1 = a_1 \\ a_2 = a_1 + r \\ a_3 = a_1 + 2r \\ \ドット\\ a_n = a_1 + (n-1)r \end{ケース}

これらの等式を追加すると、次のようになります。

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \underbrace{(a_1 + a_1 + \dots + a_1)}_{n \text{ parcelas}} + (r + 2r + \dots + (n-1)r) = na_1 + [1 + 2 + \dots + (n-1)] ~.~ r$$

定理 1, $1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ より;それから、

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = na_1 + \frac{(n-1) n}{2} ~.~ r$$

つまり:

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} ~.~ r$$

定理3

すべてのPAであります: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

デモ

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} r = \frac{2na_1 + n(n-1)r}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2} = \frac{n[a_1 + a_1 + (n-1)r]}{2} = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

例

  1. A.P. $(-2, 1, 4, 7, \dots)$ の 15 初期項の合計は次のとおりです。
$$S_{15} = 15 ~.~ (-2) + \frac{15 ~.~ 14}{2} ~.~ 3 = -30 + 315 = 285$$
  1. 4 から 100 までの 2 の整数倍の合計は、$(4, 6, 8, \dots, 100)$ が 49 項の A.P. であることに注意することで計算できます。ここで、$a_1 = 4$ と $a_{49} = 100$ は次のとおりです。
$$S_{49} = \frac{49(4 + 100)}{2} = 49 \times 52 = 2548$$

研究室: 認識、計算、確認

以下のトレーニングでは、理由の発見、項の計算、項の追加の 3 つのミッションが表示されます。 確認する前に戦略を書き留めてください。難易度によって考慮される用語の数が変わります。 このアクティビティの質問では、ゼロを含む自然な用語と比率が使用されます。

ラウンドには 10 個の AP チャレンジがあります。必要に応じて、aₙ = a₁ + (n − 1)r および Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 を使用します。

課題: 用語が自然でなくなるのはいつですか?

PA は 9 で始まり、理由 -2 があります。最初の 6 つの用語を書きます。 どの位置まではすべての項が自然のままですか?

調査をチェックしてください

用語は 9、7、5、3、1、および -1 です。最初の 5 つは自然なものです。 6番目はすでにマイナスです。 用語の値が自然ではない場合でも、位置は肯定的な自然のままです。