1676 年、イギリスのロバート・フックは、太陽を観測する器具ヘリオスコープについての本の終わりに、まだ明かしたくない発見のリストを載せました。その一つはこうでした。

$$\textit{ceiiinosssttuv}$$

これはアナグラムでした。ラテン語の文の文字をばらばらにして、アルファベット順に並べたものです。ライバルに発見をわたさずに、先取権だけを記録しておく方法でした。二年後の 1678 年、フックはその文を明かします。ut tensio, sic vis、「のびのように、力も」。ばねはのばせばのばすほど、強く引きもどします。今日ではこれを四つの記号で書きます。

$$F=-kx.$$

アナグラムは記法のちょうど反対で、隠すための書き方です。式は見せるためにつくられています。同じ法則が、一世紀あまりで一方の極からもう一方の極へ移ったのです。

答えが関数になる問い

質量 $m$ の物体をばねにつけ、引いて手をはなします。各時刻 $t$ に物体はどこにあるでしょうか。フックの法則とニュートンの法則 $F=m\cdot a$ を合わせ、加速度を位置の二階導関数として書くと、

$$m\,\frac{d^2x}{dt^2}=-k\,x$$

が得られます。これが微分方程式です。はじめは奇妙に見えます。未知のものが数ではなく、関数、つまり各時刻の位置を教えてくれる規則 $x(t)$ だからです。このサイトの以前の記事は、この種の問いをなぞなぞのように出していました。「二階導関数に自分自身をたすとゼロになる関数 $h$ がある。それは何か。」答えはサインかコサインです。どちらも二回微分すると、符号が変わって自分にもどるからです。

$$\frac{d^2}{dt^2}\cos t=-\cos t.$$

ばねの場合、解は $x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$、ただし $\omega=\sqrt{k/m}$ です。レオンハルト・オイラーは 1740 年代に、こうした方程式の家族全体を一度に解く方法を示し、関数についての問いを、ふつうの代数方程式に置きかえました。それができたのは、オイラーの $f(x)$ とライプニッツの $\frac{d}{dx}$ が、すでに関数とその導関数に名前を与えていたからです。関数どうしの方程式には、関数を対象としてあつかえる書き方が必要なのです。

単位も記号である

$\omega=\sqrt{m/k}$ ではなく $\omega=\sqrt{k/m}$ が正しいと、どうしてわかるのでしょうか。単位によってです。定数 $k$ は長さあたりの力を測り、$\frac{\mathrm N}{\mathrm m}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s^2}$ です。それを質量でわると $\frac1{\mathrm s^2}$、根号をとると $\frac1{\mathrm s}$ になります。コサインの中で時間にかけられるものの単位として、ちょうどぴったりです。コサインの中身は単位のない数でなければならないからです。$\sqrt{m/k}$ なら秒になってしまい、$\cos(\text{秒}\cdot\text{秒})$ は意味をなしません。

この確かめ、次元解析は、1822 年にジョゼフ・フーリエが体系化し、ジェームズ・クラーク・マクスウェルがかぎかっこの書き方を広めました。質量は $[M]$、長さは $[L]$、時間は $[T]$。力は $[F]=[M][L][T]^{-2}$ になります。このサイトの以前の記事は、物理の入試問題の多くがこの方法だけで解けることをよく強調していました。記号論の観点から見ると、単位は数にくっついた二層目の記号であり、計算のためではなく確かめるための層です。単位が合わない式は、計算する前からまちがっているのです。

∂ と竪琴

ある量が、気体の体積が温度 $T$ と圧力 $P$ に依存するように、同時にいくつもの量に依存するとき、ライプニッツの導関数にはことわり書きが必要になります。「$P$ を固定したまま、$T$ について微分する」。1786 年、フランスのアドリアン＝マリ・ルジャンドルは、こうした偏導関数のために丸い $d$、$\partial$ を提案しましたが、すぐにやめてしまいました。1841 年、ドイツのカール・ヤコビがそれを復活させ、今度は定着しました。これを使うと、体積の全変化は

$$dV=\frac{\partial V}{\partial T}\,dT+\frac{\partial V}{\partial P}\,dP$$

と書けます。このサイトの以前の記事は、これを「熱のカノン」と呼んでいました。全体の変化はそれぞれの方向の変化の和だということを、その形そのものが言っています。

この家族でいちばん変わった記号は $\nabla$、さかさまの $\Delta$ で、ハミルトンが四元数の研究で使いました。あらゆる方向の偏微分を一つの記号にまとめたもので、これを使ってラプラス方程式 $\nabla^2\Psi=0$ や、前の記事で見たマクスウェルの四つの方程式が書かれます。ナブラという名前は、聖書を研究していた友人がピーター・ガスリー・テイトに提案したもので、三角形の古代の竪琴のギリシア名です。マクスウェルはふざけて、この作用素を「デルタ」の逆さ読み atled と呼んでいました。

練習問題：ばねの周期

ばね定数 $k=8\ \mathrm{N/m}$ のばねに、質量 $m=2\ \mathrm{kg}$ の物体がついています。すると $\omega=\sqrt{8/2}=2\ \mathrm{s^{-1}}$ で、運動 $x(t)=A\cos(2t)$ は $2t$ が $2\pi$ 増えるごと、つまり $\pi\approx3.14$ 秒ごとにくり返します。単位を確かめると $\frac{\mathrm{N/m}}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm{kg/s^2}}{\mathrm{kg}}=\mathrm s^{-2}$ で、根号をとると $\mathrm s^{-1}$。そうなるべきとおりです。

練習問題：∂ による誤差の伝わり方

このサイトの以前の記事にあった問題です。円筒形の缶の半径は $R=5$ cm、高さは $H=9$ cm で、どちらも $0.1$ cm の誤差で測られています。体積はいくらで、不確かさはどれだけでしょうか。$V=\pi R^2H$ なので、

$$\begin{aligned}dV&=\frac{\partial V}{\partial R}\,dR+\frac{\partial V}{\partial H}\,dH=2\pi RH\,dR+\pi R^2\,dH\\&=2\pi\cdot45\cdot0.1+\pi\cdot25\cdot0.1\approx28.3+7.9.\end{aligned}$$

したがって $V\approx706.9\pm36.1\ \mathrm{cm}^3$。$\partial$ を使った式は、誤差のそれぞれの部分がどこから来るかを示しています。半径は 2 乗で現れるので、高さのほぼ四倍の重みをもつのです。

出典： Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Robert Hooke, MacTutor · Joseph Fourier, MacTutor · Earliest Uses of Symbols of Calculus, Jeff Miller。

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