Euler's Eyes
2022-11-02
集合のデカルト積
集合論で扱うことができる主題の 1 つは、2 つの集合のデカルト積です。その中で、順序ペア、ペア公理、デカルト積について説明します。
順序ペア
2 つの集合のデカルト積の主題に取り組む前に、順序ペアについて話す必要があります。
$A$と$B$を任意の2つの集合とする。 $a \in A$ と $b \in B,$ について、仕様公理を使用してセットを構築できます。
$$\\{a, b\\} = \\{x;\quad x = a \text{ ou } x = b\\}.$$順序ペアの概念では、指定された 2 つの要素を含むセットにおいて、どれが最初の要素でどれが 2 番目の要素であるかを知る必要があります。
このためには、このペアも要素であることを確認する必要があります。これは 次の公理による。
ペアの公理: 任意の 2 つのセットには、両方が属するセットが存在します。
この公理は、以下に定義されるセットの存在を保証します。
定義 (順序ペア): $(a, b)$ で示される、$a$ と $b,$ の順序ペア、最初の座標 $a$ と 2 番目の座標 $b$ がセットです
$$(a, b) = \\{a, \\{a, b\\}\\}.$$
2 つの集合のデカルト積
定義 (2 つの集合のデカルト積): 2 つの集合 $A$ と $B,$ がある場合、$A\times B$ で示される $A$ と $B,$ のデカルト積が集合です。
$$A \times B = \\{x;\quad x = (a, b) \text{ para algum } a \in A \text{ e algum } b \in B \\}.$$
これらの定義を踏まえて、セット間のこの新しい操作がどのように動作するかを見てみましょう。
デカルト積の結果
定理 $A, B$ と $C$ を任意の集合とする。したがって、次のようになります。
- (a) $A \times \emptyset = \emptyset × A = \emptyset.$
- (b) $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
- (c) $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C).$
- (d) $A \times (B − C) = (A \times B) − (A \times C).$
デモ:
- (a) デカルト積の定義により、次のようになります。
$b \in \emptyset,$ がないので、$A \times \emptyset = \emptyset.$ のように 2 番目の座標が $b,$ である順序ペアは存在しないことがわかります。
他の等式も同様です。
- (b) ここで、3 セットが空のセットとは異なると仮定できることに注意してください。そうでない場合、証明は項目 (a) から簡単にたどります。 $a \in A$ と $x \in (B \cap C),$ については、デカルト積の定義から次のことがわかります。
交差の定義から、次のようになります。
$$(a \in A) \wedge (x \in B \wedge x \in C)$$結合性プロパティから:
$$(a \in A) \wedge (x \in B) \wedge (x \in C),$$$\wedge$ のキャンセルと可換性の性質から:
$$(a ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (a ∈ A) ∧ (x ∈ C)$$結合性プロパティから:
$$[(a \in A) \wedge (x \in B)] \wedge [(a \in A) \wedge (x \in C)]$$製品の定義から。デカルト:
$$[(a, x) \in A \times B] \wedge [(a, x) \in A \times C]$$交差の定義から:
$$(a, x) \in (A × B) ∩ (A × C)$$これは項目 (b) と同等であることを示しています。
項目 (c) と (d) が等しいことの証明は演習として残されます。 :ジョイ::ジョイ::ジョイ:
$\square$
これは、集合のデカルト積の概要です。次の投稿をお待ちください。