Euler's Eyes
2026-10-11
5 章の演習 — 並列処理
演習と解決策
線分$a$は線分$b$と平行なので、以下の場合は$x$を求めます。
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a) $50^{\circ}$ b) $60^{\circ}$
$r$と$s$が平行な場合、次の場合に$x$を求めます。
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a) $60^{\circ}$ b) $70^{\circ}$
図中の線$r$と$s$は平行です。 $x$と$y$を求めます。
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a) $x = 120^{\circ}$、$y = 75^{\circ}$・b) $x = 20^{\circ}$、$y = 50^{\circ}$
図では$a \parallel b$なので$\alpha + \beta - \gamma$を計算します。
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$30^{\circ}$
横線で切った 2 本の平行線によって形成される 4 つの鋭角の合計は $80^{\circ}$ に等しくなります。鈍角を決めます。
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$160^{\circ}$
$a$は$b$と平行なので、$x$を計算します。
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$x = 45^{\circ}$
図では$a \parallel b$なので$x$を計算します。
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$x = 7^{\circ}12^{\prime}$
図では$r \parallel s$なので$x$と$y$を計算します。
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$x = 20^{\circ}$ および $y = 30^{\circ}$
図では、それぞれ平行な辺を持つ角度 $\alpha$ と $\beta$ があります。 $\alpha = 8x$と$\beta = 2x + 30^{\circ}$なので、$\beta$の補足を決定します。
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$140^{\circ}$ ($x = 5$, $\alpha = \beta = 40^{\circ}$).
$r \parallel s$と$t \parallel v$から$x + y$の値を計算します。
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$x + y = 180^{\circ}$
$r$と$s$が平行な場合、次の場合の$x$、$y$、$z$を求めます。
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a) $x = 50^{\circ}$、$y = 60^{\circ}$、$z = 70^{\circ}$・b) $x = 40^{\circ}$、$y = z = 120^{\circ}$
以下の場合の$x$の値を求めます。
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a) $50^{\circ}$ b) $40^{\circ}$
次の場合に $y$ を決定します。
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a) $110^{\circ}$ b) $120^{\circ}$
次の場合に $x$ を決定します。
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a) $60^{\circ}$ b) $50^{\circ}$
以下の場合の$x$と$y$を求めます。
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a) $x = 30^{\circ}$、$y = 40^{\circ}$・b) $x = 30^{\circ}$、$y = 30^{\circ}$
次の場合の三角形の角度を決定します。
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a) $40^{\circ}$、$60^{\circ}$、および $80^{\circ}$ b) $30^{\circ}$、$60^{\circ}$、および $90^{\circ}$
三角形$ABC$が底辺$\overline{BC}$の二等辺である場合、次の場合に$x$を求めます。
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a) $40^{\circ}$ ・ b) $45^{\circ}$ ・ c) $120^{\circ}$ ・ d) $105^{\circ}$
次の場合に $\alpha + \beta + \gamma$ を決定します。
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a) $360^{\circ}$ b) $900^{\circ}$
三角形$ABC$は底辺が$\overline{BC}$の二等辺三角形です。以下の場合の$x$の値を求めます。
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a) $50^{\circ}$ b) $36^{\circ}$ c) $70^{\circ}$
未知の値を決定します (「等号」が付いたセグメントは一致します)。
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a)$30^{\circ}$・b)$55^{\circ}$・c)$80^{\circ}$・d)$36^{\circ}$・e)$105^{\circ}$・f)$25^{\circ}$・g)$x = 30^{\circ}$、$y = 40^{\circ}$・h)$x = 15^{\circ}$、$y = 40^{\circ}$
以下の図では、$\overline{ED}$ は $\overline{BC}$ と平行です。 $B\hat{A}E$ が $80^{\circ}$ に等しく、$A\hat{B}C$ が $35^{\circ}$ に等しい場合、$A\hat{E}D$ の測定値を計算します。
この本の解像度を参照してください
直線 $DE$ が点 $P$ で $\overline{AB}$ と交わるまで、$\overline{DE}$ を延長するだけです。なお、$x$は三角形$APE$の外角です。次に、$\alpha = 35^{\circ}$ ($\hat{B}$ に $\overleftrightarrow{DE} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ として対応)、
$$x = \alpha + 80^{\circ} = 35^{\circ} + 80^{\circ} = 115^{\circ}.$$$x$と$y$の値を求め、$r \parallel s$とします。
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$x = 10^{\circ}$ および $y = 150^{\circ}$
$x$の値を$r \parallel s$として計算します。
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$x = 72^{\circ}$
$r \parallel s$の場合は$\alpha$を計算します。
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$\alpha = 100^{\circ}$
以下の図では、$r$ と $s$ の線は平行です。 $\alpha$を計算します。
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$\alpha = 52^{\circ}$
図では、$r \parallel s$ である角度 $\alpha$ の寸法を計算します。
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$\alpha = 100^{\circ}$
図中、$\overline{AB}$は$\overline{CD}$と平行です。 $C\hat{D}B = 150^{\circ}$と$A\hat{B}C = 25^{\circ}$なので、$C\hat{B}D$を計算します。
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$C\hat{B}D = 5^{\circ}$
$x$の値を決定します。
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$x = 60^{\circ}$
図の三角形$ABC$内の$x$を計算します。
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$x = 15^{\circ}$
三角形の内角はそれぞれ2、3、4に比例します。そのうちの最大のものの寸法を決定します。
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$80^{\circ}$
演習 160、161、および 162 では、三角形 $ABC$ 内の未知数を計算します。
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$x = 110^{\circ}$
$\overline{AB} \equiv \overline{AC}$ であること:
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$x = 55^{\circ}$ および $y = 70^{\circ}$
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$x = 70^{\circ}$
図では、三角形$ABC$は底辺$\overline{BC}$を持つ二等辺三角形です。 $x$の値を計算します。
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$x = 65^{\circ}$
下図に示す$x$と$y$を計算します。
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$x = 70^{\circ}$ および $y = 125^{\circ}$
この図は、底辺が $\overline{BC}$ の二等辺三角形 $ABC$ を示しています。 $A\hat{B}C$から$\overline{BD}$角の二等分線、$A\hat{C}B$から$\overline{CD}$角の二等分線となり、$x$の値を計算します。
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$x = 130^{\circ}$
図中の三角形$ACD$は底辺が$\overline{AD}$の二等辺三角形です。 $12^{\circ}$ が角度 $B\hat{A}D$ の尺度であり、$20^{\circ}$ が角度 $A\hat{B}C$ の尺度である場合、角度 $A\hat{C}D$ の尺度を計算します。
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$A\hat{C}D = 116^{\circ}$
二等辺三角形の底辺の外角が頂角の$\dfrac{5}{4}$になります。この三角形の角度を計算します。
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$120^{\circ}$、$30^{\circ}$、$30^{\circ}$
二等辺三角形 $ABC$ において、頂角 $A$ は $B$ と $C$ の外角の合計の $\dfrac{1}{10}$ に相当します。 $\overline{BC}$を三角形の底辺として、角度$\hat{A}$を求めます。
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$\hat{A} = 20^{\circ}$
三角形$ABC$では、角$\hat{B}$と$\hat{C}$のうち角の二等分線がなす鈍角が$76^{\circ}$の角$\hat{A}$を超えています。 $\hat{A}$を決定します。
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$\hat{A} = 28^{\circ}$
図の三角形$ABC$において、$\overline{AD}$角の二等分線が角$B\hat{A}C$であるとき、$\alpha - \beta = \hat{B} - \hat{C}$の関係が成り立つことを証明してください。
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$\alpha$ は $\triangle ABD$: $\alpha = \dfrac{\hat{A}}{2} + \hat{B}$ の外部です。 $\beta$ は $\triangle ACD$: $\beta = \dfrac{\hat{A}}{2} + \hat{C}$ の外部です。減算すると、$\alpha - \beta = \hat{B} - \hat{C}$。
三角形$ABC$では、角$\hat{B}$と角$\hat{C}$のうち、$\overline{BC}$の反対側の角の二等分線がなす角は、角$\hat{A}$の5倍になります。角度の測定値を決定します $\hat{A}$。
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$\hat{A} = 20^{\circ}$
図では、$x$ の値を $m$ の関数として計算します。
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$x = 2m$
どの三角形$ABC$においても、$B$と$C$の内角の角の二等分線がなす$\overline{BC}$の対角は、頂角の半補数の補数$A$に等しい。
この本の解像度を参照してください
ステートメントが命題である問題では、その性質を証明する必要があります。 $b$ と $c$ を $\hat{B}$ と $\hat{C}$ と $x = B\hat{D}C$ の半分とします。ここで、$D$ は 角の二等分線 の会合です。
$$\triangle DBC:\ x + b + c = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} - (b + c)$$$$\triangle ABC:\ 2b + 2c + \hat{A} = 180^{\circ} \Rightarrow b + c = 90^{\circ} - \frac{\hat{A}}{2}$$
ロゴ $x = 180^{\circ} - \left(90^{\circ} - \dfrac{\hat{A}}{2}\right)$: $\dfrac{\hat{A}}{2}$ の補足。 (言い換えれば、$x = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{A}}{2}$ — 演習 165 でテストしてください!)
図において、$\alpha$は$\beta$の3倍、$\gamma$は$\beta$の6倍として、角度$x$を計算します。
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$x = 50^{\circ}$
三角形$ABC$において、頂角$A$は、$\overline{BC}$に隣接する角のうち角の二等分線がなす鈍角の８分の１に等しい。頂角の測定値を決定します $A$。
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$12^{\circ}$
二等辺三角形 の外部頂点角は $150^{\circ}$ になります。 a) 三角形の角度を決定します。 b) 三角形の底辺の角のうち 角の二等分線 によって形成される鈍角。 c) 底角の 1 つの 角の二等分線 と頂角の 角の二等分線 によって形成される角度。
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a) $30^{\circ}$、$75^{\circ}$、$75^{\circ}$・b) $105^{\circ}$・c) $52^{\circ}30^{\prime}$、$127^{\circ}30^{\prime}$
角度 $\hat{A}$ の測定値が $76^{\circ}$ であることがわかっているので、三角形 $ABC$ の頂点 $B$ および $C$ に対して外部 角の二等分線 によって形成される最小角度の測定値を求めます。
この本の解像度を参照してください
$b$ と $c$ を $B$ と $C$ の外角の半分とし、$x$ を要求された角度とします。
- $\hat{B} + \hat{C} + 76^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 104^{\circ}$.
- $2b + \hat{B} = 180^{\circ}$ および $2c + \hat{C} = 180^{\circ}$; $2(b + c) + 104^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow b + c = 128^{\circ}$ を追加します。
- 外側の 角の二等分線 と $\overline{BC}$ で形成される三角形内: $x + b + c = 180^{\circ} \Rightarrow x = 52^{\circ}$。
2 番目の角度が最初の角度の $\dfrac{3}{2}$ であり、3 番目の角度が最初の 2 つの角度の半和であることがわかっているので、三角形の 3 つの角度の寸法を決定します。
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$48^{\circ}$、$72^{\circ}$、$60^{\circ}$
三角形の 3 つの角度は、2 番目の角度が最初の角度よりも $28^{\circ}$ 小さく、3 番目の角度が最初の角度よりも $10^{\circ}$ 大きくなります。三角形の 3 つの角度を決定します。
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$66^{\circ}$、$38^{\circ}$、$76^{\circ}$
二等辺三角形 では、頂角は各底角の半分です。三角形の 3 つの角度を決定します。
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$36^{\circ}$、$72^{\circ}$、$72^{\circ}$
任意の横断線と交差する 2 本の平行線の 2 つの内側面角の 角の二等分線 によって形成される角度を決定します。
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$90^{\circ}$
図では、$m$ の関数として角度 $\alpha$ の測定値を決定します。つまり、$\hat{A} = 3m$、$\hat{B} = 2m$、$\hat{D} = m$、および $B\hat{C}D = \alpha$ になります。
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$\alpha = 6m$
任意の三角形 $ABC$ において、$B$ と $C$ の外角の 角の二等分線 によって形成される $\overline{BC}$ の対角は、三角形の頂点角 $A$ の半分の補数に等しくなります。
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演習 173 と同様に、外部 角の二等分線 を使用して実行します。角度は $90^{\circ} - \dfrac{\hat{A}}{2}$ です。
図では、$\overline{AC}$ に一致する $\overline{AB}$ と $\overline{AD}$ に一致する $\overline{AE}$ を使用して、$B\hat{A}D = 48^{\circ}$ が与えられた場合の角度 $C\hat{D}E$ の寸法を計算します。
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$C\hat{D}E = 24^{\circ}$
線分 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DE}$、$\overline{EF}$、および $\overline{FA}$ が合同であることがわかっているので、二等辺三角形 $ABC$ の頂点 $A$ の角度の測定値を決定します。
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$\hat{A} = 20^{\circ}$
図中、三角形$ABC$は等辺、三角形$CDB$は二等辺です。 $B\hat{C}D = x$と$A\hat{B}D = y$から$2x + y$の値を計算します。
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$2x + y = 195^{\circ}$
$AB = AC = 5$ cm と $BC = 7$ cm の三角形 $ABC$ について考えてみましょう。 $\overline{BC}$ 側で、$BD = 3$ cm となる点 $D$ を取り、点 $D$ を通って $\overline{AC}$ と $\overline{AB}$ にそれぞれ平行な $\overline{DE}$ と $\overline{DF}$ を描きます。$\overline{AB}$ には $E$、$\overline{AC}$ には $F$ が入ります。 $AEDF$の周囲を計算します。
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10cm
図から、$AB = AC$、$\hat{A} = 100^{\circ}$、$AD = BC$ であることがわかります。 $x = C\hat{B}D$を決定します。
この本の解像度を参照してください
- $AB = AC = b$ と $CD = a$ と指定します。次に$BC = AD = a + b$。
- $AP = b$ で $\overline{AP}$ を描画すると、$B\hat{A}P = 60^{\circ}$: 三角形 $APB$ は 等辺 となり、一辺は $b$ になります。
- 三角形 $PAD$ および $ABC$ では、$PA = AB = b$、$P\hat{A}D = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ} = A\hat{B}C$、および $AD = BC$。 LAL の場合、それらは一致します。次に$PD = AC = b$と$A\hat{P}D = B\hat{A}C = 100^{\circ}$。
- $PD = b = PB$のうち、$\triangle PBD$は二等辺です。その中で$\hat{P} = 60^{\circ} + 100^{\circ} = 160^{\circ}$、次に$P\hat{B}D = P\hat{D}B = 10^{\circ}$。
- 最後に、$A\hat{B}P = 60^{\circ}$、$D\hat{B}P = 10^{\circ}$、$C\hat{B}A = 40^{\circ}$ から、$x = C\hat{B}D = 10^{\circ}$ と結論付けます。