Euler's Eyes
2026-10-14
一般相対性理論：エレベーターからソブラルの日食へ
ベルンの特許局で椅子に座っていると、突然ある考えが浮かんだ。人が自由に落ちているなら、その人は自分の重さを感じないだろう。私ははっとした。この単純な考えは私に深い印象を与え、重力の理論へと私を駆りたてた。
— アルベルト・アインシュタイン、1907 年の着想について
1905 年の相対性理論には欠点がありました。重力が入っていないのです。ニュートンの法則では、太陽は 1 億 5 千万キロメートルをへだてて瞬時に地球を引きます。一方、相対性理論では、光より速く伝わるものはありません。アインシュタインはこれを直すのに八年かけました。出発点は、彼が「生涯で最も幸せな考え」と呼んだものでした。
落ちるエレベーター
ケーブルが切れたエレベーターのなかにいると想像してください。あなたもエレベーターのなかのすべても、同じ加速度でいっしょに落ちます。リンゴから手をはなすと、リンゴは目の前に浮かんでいます。エレベーターのなかでは、まるで重力がないかのようです。宇宙ステーションの宇宙飛行士はいつもこれを体験しています。彼らが浮かんでいるのは地球から遠いからではなく、地球のまわりを落ちつづけているからです。
逆も成り立ちます。何もない宇宙空間で $9.8$ m/s² で加速しているロケットのなかでは、地球にいるときとまったく同じように、足が床に押しつけられるのを感じます。小さな部屋のなかで行うどんな実験でも、重力と加速を区別することはできません。これが 等価原理 です。
さて、加速しているロケットのなかで、懐中電灯を水平に照らします。光が部屋を横切るあいだにロケットは上に進むので、光は出発点より少し下で反対側の壁に届きます。ロケットのなかでは、光は曲がって進むのです。重力が加速と区別できないなら、重力も光を曲げる はずです。
重力は幾何学である
アインシュタインはこの考えを極限までおし進めました。重力は力ではなく、空間と時間の形 だというのです。太陽のような大きな質量はまわりの時空をゆがめ、光も含めて自由に落ちる物体は、そのゆがんだ空間のなかでできるかぎりまっすぐな線、測地線 をたどるだけです。地球が太陽のまわりを回るのは引っぱられているからではなく、太陽にゆがめられた空間のなかを「まっすぐ」進んでいるからなのです。
これを書きあらわすために、アインシュタインには、ガウス が始めリーマンが一般化した曲がった空間の幾何学が必要でしたが、彼はそれを知りませんでした。友人マルセル・グロスマンに助けを求め、何年も試行錯誤を重ねました。1915 年 11 月 25 日、彼はプロイセン科学アカデミーに 場の方程式 を提出します。
$$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左辺の $G_{\mu\nu}$ は時空の 曲率 を、右辺の $T_{\mu\nu}$ はそこにある 物質とエネルギー を表します。物理学者ジョン・ホイーラーはこうまとめました。「物質は空間にどう曲がるかを教え、空間は物質にどう動くかを教える」。十本の方程式がからみあっていて、解くのはむずかしいのですが、弱い重力場ではニュートンの重力の法則に戻ります。
最初の検証：水星
水星の軌道は、完全に固定された楕円ではありません。楕円そのものが太陽のまわりをゆっくり回っているのです。この回転のほとんどはほかの惑星の引力で説明できますが、ニュートンの物理学では説明できない 一世紀に 43 秒角 のずれが残っていました。水星と太陽のあいだに目に見えない惑星ヴァルカンがあると唱える人もいました。
1915 年 11 月、アインシュタインは自分の方程式でこの効果を計算し、ちょうど一世紀に 43 秒角を得ました。彼はある友人に、何日も「うれしさで我を忘れた」と書き、胸の鼓動が速まるのを感じたと述べています。
二つ目の検証：曲がる光
太陽のすれすれを通る光について、理論は次の曲がりを予言していました。
$$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$$GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²、太陽の半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m とすると、
$$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$3 km 先から見た硬貨くらいの大きさです。これを測るには、太陽のすぐ横に見える星を撮影し、何か月かのち、太陽が空の別の場所に移った夜に、その星の位置とくらべなければなりません。けれども、太陽の横の星が見えるのは 皆既日食 のときだけです。
ソブラル、1919 年 5 月 29 日
1919 年 5 月 29 日の日食は理想的でした。太陽が明るい星の集まり、ヒアデス星団の前にくるのです。皆既帯はブラジル北部とアフリカの沿岸を通っていました。イギリス王立天文学会は二つの観測隊を送りました。アーサー・エディントンはギニア湾のプリンシペ島へ、アンドルー・クロンメリンとチャールズ・デイヴィッドソンはセアラー州の ソブラル へ。リオデジャネイロの国立天文台の天文学者たちも、太陽のコロナを調べるためにソブラルにいました。
プリンシペ島では朝に雨が降り、雲が切れたのは日食のなかばでした。写真はぼんやりしたものになりました。ソブラルでは空がまにあうように晴れました。5 分間の皆既で最もよい乾板が得られ、測られた曲がりは約 $1.98''$、誤差は約 $0.12''$ でした。プリンシペのデータ $1.61''$ とあわせて、結果はアインシュタインの値に近く、ニュートン流の計算から期待されたその半分、$0.87''$ からは遠いものでした。
1919 年 11 月 6 日、ロンドンでの王立協会と王立天文学会の合同会議で、ニュートンの肖像画の下、王室天文官フランク・ダイソンが、光はアインシュタインの予言どおりに曲がったと発表しました。翌日、世界じゅうの新聞がニュートンを倒した男の話でもちきりになりました。六年後、リオデジャネイロで、アインシュタインはブラジルの空に感謝したのです。
時間も曲がる
一般相対性理論は、重力が強いところほど時間がゆっくり進む ことも予言しています。地球の表面の近くでは、時計は、もっと高いところにある時計より遅れます。高さ 2 万 km の GPS 衛星では、地球から遠いために時計が一日に約 45 マイクロ秒進み、速さのために約 7 マイクロ秒遅れます。差し引き一日 38 マイクロ秒が、衛星で補正されています。補正しなければ、位置の誤差は一日に約 11 km ずつ大きくなります。
練習問題：GM ≈ 1.27 × 10¹⁷ m³/s²、半径 7.0 × 10⁷ m の木星のすれすれを通る光は、どれだけ曲がるか？
太陽のときの百分の一です。この曲がりは 2002 年、木星がクエーサーの前を通ったときに、電波望遠鏡で測られました。
練習問題：一日 38 マイクロ秒は、一日のどれだけの割合か。その時間に光はどれだけ進むか？
一日は $86\,400$ 秒なので、割合は $\frac{38\times10^{-6}}{86\,400}\approx4.4\times10^{-10}$、10 億分の半分にも足りません。38 マイクロ秒で光は $3\times10^8\cdot38\times10^{-6}\approx11\,400$ m 進みます。GPS は信号にかかる時間から距離を出すので、10 億分の半分の誤差が 11 km 以上になるのです。
出典： F. W. Dyson、A. S. Eddington、C. Davidson、“A determination of the deflection of light by the Sun’s gravitational field”、Philosophical Transactions of the Royal Society A 220（1920）· Ildeu de Castro Moreira、Antonio Augusto Passos Videira 編、Einstein e o Brasil（Editora UFRJ、1995）· Einstein Online、一般相対性理論。
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