未知数とは、文字どおり、まだ知られていない数のことです。けれども、なんでもよいわけではありません。それはまだわかっていない、決まった数です。方程式 $x+3=7$ はすべての数について語っているのではなく、一つの数について語っていて、課題はそれがどれかを見つけることです。

知らないものの名前

長いあいだ、未知数の名前は文字ではなく、言葉でした。

  • 250 年ごろ、アレクサンドリアのディオファントスは『算術』で、未知数を arithmós、「数」と呼び、語末のシグマに似た記号 $\varsigma$ で略しました。未知数の平方には $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis、累乗）、立方には $K^{\Upsilon}$（kýbos）という略記もありました。
  • 820 年ごろのバグダードで、フワーリズミーはそれを shay’、ものと呼び、その平方を māl、財産と呼びました。彼はすべてを言葉で書き、記号は一つも使いませんでした。
  • 15 世紀と 16 世紀に、イタリア人は shay’ を cosa と訳し、イタリア人を写したドイツの代数学者たちは コス派（cossists）とあだ名されました。1544 年になっても、ミヒャエル・シュティーフェルは「もの」、その平方、その立方に別々の記号を使っていました。
ミヒャエル・シュティーフェル『整数算術』（1544）の「コス記号」。未知数の累乗ごとに記号があり、それらのあいだに目に見える関係はない。
ミヒャエル・シュティーフェル『整数算術』（1544）の「コス記号」。未知数の累乗ごとに記号があり、それらのあいだに目に見える関係はない。Michael Stifel · Wikimedia Commons · パブリックドメイン

これらの記号では、「もの」の平方も立方も、「もの」に似ていません。この本の言い方では、不毛な記法です。立方と平方をかけると 5 乗になることを知るには、表を暗記しなければなりませんでした。デカルトが $x$、$x^2$、$x^3$ と書いたとき、規則 $x^3\cdot x^2=x^5$ が指数の中に見えるようになりました。第 1 章の修辞から記号へで、この移り変わりをもっと詳しく語っています。

ディオファントスの一ページ

1621 年、フランスのクロード＝ガスパール・バシェは、ディオファントスの『算術』をギリシア語で出版し、隣にラテン語訳を添えました。これは第 II 巻の問題 8、与えられた平方数を二つの平方数に分ける問題のページです。

バシェ版（1621）の問題 II.8。右がギリシア語、左がラテン語で、未知数を N、その平方を Q と書いている。フェルマーが最終定理の書き込みをしたのは、このページの余白だった。
バシェ版（1621）の問題 II.8。右がギリシア語、左がラテン語で、未知数を N、その平方を Q と書いている。フェルマーが最終定理の書き込みをしたのは、このページの余白だった。Diophantus, ed. Bachet · Wikimedia Commons · パブリックドメイン

バシェのラテン語では、未知数は numerus（数）の N、その平方は quadratus（平方）の Q です。「Ponatur primus 1 Q」、最初の平方数を $1Q$ とせよ。今日のことばで言えば、$16$ を二つの平方数に分けるために、ディオファントスは一つめを $x^2$、二つめを $16-x^2$ とし、二つめの辺の形として $2x-4$ を選びます。条件は

$$16-x^2=(2x-4)^2=4x^2-16x+16,$$

ここから $5x^2=16x$、つまり $x=\frac{16}5$ です。二つの平方数は $\frac{256}{25}$ と $\frac{144}{25}$ で、足すと $\frac{400}{25}=16$ になります。フェルマーが、立方やもっと高い累乗ではこのような分け方は不可能だと書いたのは、この問題の隣でした。

インデックスとしての未知数

パースのことばで言えば（第 2 章を参照）、未知数はインデックスとしてはたらきます。存在するがまだ見えていない対象を指す、閉じた扉を指さす指のようなものです。$x$ はその数を描写しません。場所を取っておくだけです。それがどの数かを言うのは、方程式が課す条件です。

だから方程式は、つまるところ一つの問いです。「どの数がこの性質をもつか」。そして、ありうる答えはさまざまです。

方程式 答え
$x+3=7$ 一つだけ：$4$
$x^2=9$ 二つ：$3$ と $-3$
$x^2=-1$ 実数の中にはない
$x+1=x+1$ すべて：恒等式であって、問いではない
$x=x+1$ ない：矛盾である

最後の二行では、文字は未知数ではなくなります。$x+1=x+1$ では $x$ は任意で、$x=x+1$ では探すものがありません。同じ書き方 $\square=\square$ が、問いにも、法則にも、不合理にもなりうるのです。

練習：別の辺でディオファントスの問題を解き直す

二つめの辺を $3x-4$ として、$16$ を二つの平方数に分けなさい。条件は $16-x^2=(3x-4)^2=9x^2-24x+16$ なので、$10x^2=24x$、$x=\frac{12}5$。平方数は $\frac{144}{25}$ と $16-\frac{144}{25}=\frac{256}{25}$ で、前と同じものが逆の順で出てきます。ディオファントスは辺の選び方が自由であることを知っていました。選ぶたびに解が一つ得られ、解は無限にあります。

練習：未知数かどうか

次の文のうち、$x$ が未知数なのはどれでしょう。(a) $2x+1=7$。(b) $2(x+1)=2x+2$。(c) 実数の範囲で $x^2+1=0$。

(a) は未知数です。$x=3$ だけが当てはまります。(b) は違います。等式はすべての $x$ について成り立ち、恒等式です。(c) は問いの形をしていますが、答えは「実数はない」です。未知数が指す扉は、実数の中では開けても何もありません。複素数の中では、その先に $i$ と $-i$ があります。

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