Euler's Eyes
2026-10-11
平行四辺形の性質
対辺が等しく、対角が等しく、対角線が半分になります。平行四辺形は力と関節機構を表しています。
発見者
最初の性質はユークリッドの原論の命題 I.34 (c. 300 BC) にあります。つまり、平行四辺形では、向かい合う辺と角は等しく、対角線は同じ領域の 2 つの部分に分割されます。幾何学の外では、 平行四辺形はフランドルのシモン・ ステヴィン (1586) によって使用され、プリンキピア (1687) でアイザック・ ニュートンによって宣言された力の平行法則で名声を博しました。点に作用する は、それらによって形成される平行四辺形の対角線に相当します。
歴史
ユークリッドの証明では、平行線と ALA の場合との間の交互の角度を使用して、対角線を描き、形成された 2 つの三角形を比較します。このスレッドが従うのと同じスクリプトです。
1603 頃にクリストフ シャイナーによって発明されたパンタグラフは、平行四辺形を形成するヒンジ付きバーを使用して図面を別の縮尺にコピーします。つまり、平行四辺形が変形しても、対辺は平行のままです。同じ原理が多関節照明器具や機械機構にも見られます。
日常生活での応用
- 力とベクトル 2 隻のタグボートが船を牽引する効果を調べるには、平行四辺形の法則を使用して力を加算します。
- 電気スタンド 多関節バーが平行四辺形を形成しているため、ランプは常に同じ傾きを保ちます。
- 車用ハサミ (ジャッキ)。 アコーディオン ジャッキは関節式の菱形です。ネジを回すと車が上がります。
- 斜め駐車 傾斜スペースは平行四辺形です。
出典: 要素、命題 I.34 · Stevin (MacTutor) · Sheiner (MacTutor)。
理論と作図
定理反対の角度
a) すべての平行四辺形では、任意の 2 つの対角は合同です（連続する 2 つの角は補角です）。
b) 逆数: 対角が一致する凸状の四角形はすべて平行四辺形です。
定理反対側
a) すべての平行四辺形では、向かい合う 2 つの辺は合同です。
b) 逆数: 対辺が合同な凸四角形はすべて平行四辺形です。
定理対角線
a) すべての平行四辺形では、 対角線はそれぞれの中点で交差します。
b) 逆数: 対角線がそれぞれの中点で交差するすべての凸型四角形は平行四辺形です。言い換えれば、2 つのセグメントを半分に切断すると、その端は平行四辺形の頂点になります。
定理平行で合同な 2 つの辺
2 つの平行で合同な辺を持つ凸四角形はすべて平行四辺形です。
デモを見る
逆の角度。 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$、$\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}$ の場合。 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$、$\hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$となります。ロゴ $\hat{A} \equiv \hat{C}$;同様に$\hat{B} \equiv \hat{D}$。逆に、$\hat{A} = \hat{C}$ と $\hat{B} = \hat{D}$ の合計 $360^{\circ}$ は $\hat{A} + \hat{B} = \hat{A} + \hat{D} = 180^{\circ}$ となり、補足担保は平行線を与えます。
反対側 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$、$B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$ (交互)。共通の $\overline{AC}$ と $\hat{B} \equiv \hat{D}$、LAAₒ による $\triangle ABC \equiv \triangle CDA$、次に $AB = CD$ と $BC = DA$。 LLL による $\triangle ABC \equiv \triangle CDA$ の逆数では、交互の合同角度が平行度を与えます。
対角線。 $AB = CD$ と代替 $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$、$A\hat{B}D \equiv C\hat{D}B$ は、ALA により、$\triangle ABM \equiv \triangle CDM$: $AM = CM$ および $BM = DM$ になります。逆に、LAL ($AM = CM$, o.p.v., $BM = DM$) は $\triangle ABM \equiv \triangle CDM$ を与えるため、$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ になります。同様に$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$。
平行で合同な辺。 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ は $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$ を与えます。 $AB = CD$ と $\overline{AC}$ を共通にして、LAL によって $BC = AD$ を指定すると、反対側の逆数が有効になります。
